Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2018, 16:21 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 22:20
Сообщений: 164
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]F=x^3y^2(12-x-y)[/math]
как искать экстремум такой функции?
при приравнивании 1х производных к нулю за скобку выносятся xy в разных степенях.
т.е. под стационарные точки могут подпадать целые линии x=0,y=R и x=R,y=0.
плюс отдельные точки. в данном случае есть еще одна точка . от нее я экстремум нашел ,все норм.
но что делать вот с этим множителем xy? не может же быть целая линия экстремумом .
и при подстановке этих точек Z''xx =0. а для этого случая я тоже не нашел обьяснений. везде только для < и > 0.
не в 1й раз встречаю такого рода задачу. подскажите, кто знаком с этим классом , как выходить из сетуации.


еще одно задание, это найти стационарную точку функции и указать ее тип [math]z=x^2+6xy+2y^2+x+2y[/math]
это параболойд. значит в любом случае либо максимум либо минимум будет. но у точки получается D<0.
по определению это говорит о том ,что экстремума нет.
но он же должен быть у параболойда .и задача поставленна четко. указать тип, без оговорок на то,что экстремума ее может и не быть
(есть мнение,что параболойд лежит боком и по оси z экстремума нет. но является ли это ответом? ведь z можно внести в F и неявная функция не будет привязана к направлению. и тогда нужно находить [math]\triangle _3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2018, 18:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10920
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 948
Спасибо получено:
3220 раз в 2812 сообщениях
Очков репутации: 628

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

[math]F_{max}=6912[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2018, 18:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
не может же быть целая линия экстремумом

Почему нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2018, 19:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
как искать экстремум такой функции? ...
т.е. под стационарные точки могут подпадать целые линии x=0,y=R и x=R,y=0.

Эти линии исследовать отдельно. Допустим, рассмотрим линию [math]x=0[/math]. Вдоль этой линии функция будет иметь вид [math]F(x,y)=K(x,y)x^3[/math]. (Здесь [math]K(x,y)[/math] - переменная, не имеющая множителей [math]x[/math]). Очевидно, что тут экстремума быть не может, поскольку с разных сторон оси [math]x=0[/math] функция будет иметь разные знаки. Рассмотрим теперь линию [math]y=0[/math]. Вдоль этой линии функция будет иметь вид [math]F(x,y)=K(x,y)y^2[/math]. А вот здесь может локальный экстремум. Попробуйте исследовать этот случай самостоятельно. Отдельно надо рассмотреть случаи [math]K>0[/math] и [math]K<0[/math]. Кроме того точку [math]x=12[/math], [math]y=0[/math] нужно исследовать отдельно. (Локальный экстремум я понимаю в следующем смысле .)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 25 апр 2018, 19:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
еще одно задание ...это параболойд.

Как определили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 00:47 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 22:20
Сообщений: 164
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
God_mode_2016 писал(а):
как искать экстремум такой функции? ...
т.е. под стационарные точки могут подпадать целые линии x=0,y=R и x=R,y=0.

Эти линии исследовать отдельно. Допустим, рассмотрим линию [math]x=0[/math]. Вдоль этой линии функция будет иметь вид [math]F(x,y)=K(x,y)x^3[/math]. (Здесь [math]K(x,y)[/math] - переменная, не имеющая множителей [math]x[/math]). Очевидно, что тут экстремума быть не может, поскольку с разных сторон оси [math]x=0[/math] функция будет иметь разные знаки. Рассмотрим теперь линию [math]y=0[/math]. Вдоль этой линии функция будет иметь вид [math]F(x,y)=K(x,y)y^2[/math]. А вот здесь может локальный экстремум. Попробуйте исследовать этот случай самостоятельно. Отдельно надо рассмотреть случаи [math]K>0[/math] и [math]K<0[/math]. Кроме того точку [math]x=12[/math], [math]y=0[/math] нужно исследовать отдельно. (Локальный экстремум я понимаю в следующем смысле .)

идея мне ясна, но я не понимаю,почему K(x,y)*x^3 при подстановке х=0? ведь x^3 множится на все члены скобки и при подстановке будет давать чистый ноль . там даже не получится ничего исследовать.
может есть отдельно правило, которое позволяет этот множитель x^3 вынести за функцию и рассматривать все как x^3*K(x,y),
после чего исследуется на локальный экстремум только часть K(x,y) ?
правильно ли я понял вас и если да, как называется этот прием или на чем основан этот алгоритм. был бы рад за пояснение и статью на эту темы . спасибо.


к задаче с параболойдом о том что он им является, написано в самой задаче

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 01:31 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 22:20
Сообщений: 164
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
сейчас прогнал функцию через 3d графики. вижу зависимость степеней этих на графиках. при четных параболы при нечетных гиперболы.
но не понимаю, как все таки их вычислять на бумаге.
если представить F как x^3*K , например, где K это что? y^2(12-y) или y^2(12-x-y) ?
по логике тогда должно быть неважно ,если брать K за константу
тогда совсем не понятно ,как будет выглядеть стационарная точка и как определить максимум она или минимум.
боюсь, вы очень кратно все обьяснили.
теперь знаю, что могут быть экстремумы в них, но по каким алгоритмам искать , неясно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 11:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
идея мне ясна, но я не понимаю,почему K(x,y)*x^3 при подстановке х=0? ведь x^3 множится на все члены скобки и при подстановке будет давать чистый ноль . там даже не получится ничего исследовать.

Я имел в виду исследование функции не на самой линии [math]x=0[/math], а в некоторой окрестности этой линии. Если зафиксировать [math]y[/math], то наша функция будет в этой окрестности иметь вид [math]Kx^3[/math]. Ясно, что это не экстремум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 11:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
к задаче с параболойдом о том что он им является, написано в самой задаче

Посмотрите мнение Козьмы Пруткова по этому поводу https://persons-aforism.ru/aforizm/2396 .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 11:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3834
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
как называется этот прием или на чем основан этот алгоритм. был бы рад за пояснение и статью на эту темы

Это моё личное мнение по этому вопросу, которое может не совпадать с официальной точкой зрения. (Официальную точку зрения по этому вопросу я не встречал).
God_mode_2016 писал(а):
но не понимаю, как все таки их вычислять на бумаге. если представить F как x^3*K , например, где K это что? y^2(12-y) или y^2(12-x-y) ?по логике тогда должно быть неважно ,если брать K за константу

1) Пусть мы исследуем прямую [math]x=0[/math]. В окрестности этой прямой мы можем записать [math]F(x,y) \approx y^2(12-y)x^3[/math]. Здесь [math]K(y)=y^2*(12-y)[/math]. Нам почти не важно, чему равна эта переменная. (За исключением, угловые точки треугольника [math](x=0,y=0)[/math] ; [math](x=0,y=12)[/math] ; [math](x=12,y=0)[/math] надо исследовать отдельно.) Ясно, что тут экстремума не будет.
2) А теперь пусть мы будем исследовать окрестность прямой [math]y=0[/math]. Тут надо исследовать знак [math]K[/math]. Попробуйте разобраться в этом самостоятельно.
God_mode_2016 писал(а):
тогда совсем не понятно ,как будет выглядеть стационарная точка и как определить максимум она или минимум.

У нас тут стационарные прямые (хотя они состоят из стационарных точек).
God_mode_2016 писал(а):
боюсь, вы очень кратно все обьяснили.

На то и форум даёт возможность диалога, чтобы постепенно приблизиться к истине.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

ExtreMaLLlka

10

90

23 май 2018, 10:17

Найти экстремум функции двух переменных.

в форуме Дифференциальное исчисление

Monarkhov

5

416

26 май 2013, 12:34

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Rea1l

0

223

31 мар 2014, 10:15

Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

168

17 дек 2016, 20:02

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

1

443

27 янв 2013, 21:02

Условный экстремум функции о двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MercuryOcean

6

205

01 дек 2016, 23:59

Найдите экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

4

310

27 янв 2013, 02:53

Экстремум функции двух переменных.Запуталась

в форуме Дифференциальное исчисление

lisica198808

4

267

10 фев 2014, 22:50

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

pacific

2

591

24 май 2013, 15:17

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Yurievna

2

96

17 май 2018, 12:35


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved