Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на экстремум функцию двух переменных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=57976
Страница 2 из 3

Автор:  vice4 [ 28 янв 2018, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Это всё понятно. Мне же пример решить надо. Вот представьте что его на экзамене дадут и что? Строить поверхность (((
Я к опечатке склоняюсь всё же.

Автор:  searcher [ 28 янв 2018, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vice4 писал(а):
Точки максимума/минимума.

Обычно разделяют локальный и глобальный экстремум. Если имеется в виду глобальный экстремум, то его нет просто в виду степени многочлена.

Автор:  vice4 [ 28 янв 2018, 19:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Кхм... интересный вопрос... я решил смежный вариант данного задания и еще 3 варианта. Там проблем нет. Система решается легко и корни находятся для системы так же легко. Буду думать. Сожет еще кто-то вариант решения предложит.

Автор:  Space [ 28 янв 2018, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Есть вариант, как доказать, что экстремумов нет. Правда, много выкладок, нужно тщательно перепроверить.

Итак, [math]z = 6xy^2 - 12x^2y - y^2 + 54x + 48y + 1[/math].

Как я уже отмечал раньше, если экстремум есть, то он имеет место при [math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. Этот факт пригодится в дальнейшем. Для полноты решения приведу ниже его доказательство.

Необходимое условие экстремума:

[math]z_x' = 6y^2 - 24xy + 54 = 0[/math]

[math]y^2 - 4xy + 9 = 0[/math]

[math]D = 16x^2-36 \geqslant 0[/math]

[math]x^2 \geqslant \frac{9}{4}[/math]

[math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. Ч.т.д.

Теперь найдем производные второго порядка.

[math]z'' \equiv \begin{pmatrix} z_{xx}'' & z_{xy}'' \\ z_{yx}'' & z_{yy}'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24y & (12y - 24x) \\ (12y - 24x) & (12x-2) \end{pmatrix}[/math]

Покажем, что эта матрица является знакопеременной во всех точках, кроме тех, в которых заведомо нет экстремума. Есть теорема, согласно которой экстремума в точке не будет, если соответствующая матрица знакопеременна и невырождена. Это дается простым условием [math]det \ z'' < 0[/math] в случае двух переменных.

[math]det \ z'' = -24y(12x-2) - (12y-24x)^2 = -12 \cdot 4 \cdot (y(6x-1)+3(y-2x)^2) < 0[/math].

[math]3(y-2x)^2 + y(6x-1) > 0[/math]

Удобная замена [math]y - 2x = t[/math]

[math]3t^2 + (t+2x)(6x-1) > 0[/math]

[math]3t^2 + (6x-1)t + 2x(6x-1) > 0[/math]

[math]D_1 = (6x-1)^2 - 24x(6x-1) = (6x-1)(6x-1 - 24x) = -(6x-1)(18x+1)[/math]

Теперь вспомним, что [math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. При этом [math]D_1 < 0[/math], то есть для любых [math]t[/math] будет [math]3t^2 + (6x-1)t + 2x(6x-1) > 0[/math], что равносильно [math]det \ z'' < 0[/math]. Таким образом, ни в одной точке экстремума быть не может.

Автор:  vvvv [ 28 янв 2018, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vice4 писал(а):
Это всё понятно. Мне же пример решить надо. Вот представьте что его на экзамене дадут и что? Строить поверхность (((
Я к опечатке склоняюсь всё же.

Изобразив поверхность, я намекнул вам, что нужно провести дальнейшее исследование функции на экстремум.
Учите матчасть, а не сетуйте на опечатку.

Автор:  vice4 [ 29 янв 2018, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vvvv писал(а):
Учите матчасть, а не сетуйте на опечатку.

Дальнейшее исследование функции это хорошо. Но повторюсь.
Я на экзамене получаю задание: исследовать функцию на экстремумы. Начинаю решать по алгоритму (частные производные, решаем систему, вторые производные в точках).
Теперь же по Вашему совету я должен взять и построить поверхность и потом уже провести дальнейшее исследование. Вот и вопрос КАК построить поверхность?

Space, красиво.

Автор:  searcher [ 29 янв 2018, 10:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vice4 писал(а):
Вот и вопрос КАК построить поверхность?

Извините, что встреваю. Но
1) В данной задаче нет хороших способов без компьютера построить поверхность.
2) Построение поверхности в данной задаче не является необходимостью.
3) Никто в данной ветке не предлагал вам построить поверхность.
4) То что нет экстремума не должно смущать. Просто надо доказать, что его нет.
5) Во многих местах под словом экстремум понимается глобальный экстремум https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC. Как это понимается у вас, вы мне не ответили. Его отсутствие в данной задаче очевидно без всяких производных.

Автор:  vice4 [ 29 янв 2018, 10:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

searcher, извиняю.

vvvv писал(а):
Изобразив поверхность, я намекнул вам, что нужно провести дальнейшее исследование функции на экстремум

Вот что написано. И моя трактовка такова: строим поверхность, доказываем, что экстремумов нет.

Есть еще вариант (помимо решения от Space): решать задачу стандартным способом и решить систему, например, методом Феррари.
Потом взять вторые производные и показать, что точки не являются экстремумами.

Автор:  vvvv [ 29 янв 2018, 13:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vice4, ну, вы и нудный.Повторюсь -учите матчасть. Поверхность строить не нужно, об этом вам уже сказали.
Изобразив поверхность, я намекнул вам, что бывают случаи когда экстремума нет (хотя частные производные равны нулю).Вот тогда нужно провести дополнительные исследования функции - все это давным давно описано.А вы уперлись в поверхность :(

Автор:  vice4 [ 29 янв 2018, 14:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных

vvvv, я - не нудный. Я дотошный. :oops:

vvvv писал(а):
бывают случаи когда экстремума нет (хотя частные производные равны нулю).

А разве я говорил иное? Для моего же конкретного случая главный вопрос: ГДЕ частные производные равны нулю? Как найти действительные корни уравнения?
И если найти их нельзя (собственно в этом и был мой первый вопрос), то как решить задание.
Повторюсь, сейчас единственное вразумительное решение есть от Space. Вы же, vvvv, окромя "читайте матчасть" и "нужно провести дополнительные исследования функции" ничего не предложили. Засим думаю тему можно помечать решенной ибо конструктива помимо "доказать, что экстремум отсутствует" не предвидится.

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/