Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 янв 2018, 17:51 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 13:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это всё понятно. Мне же пример решить надо. Вот представьте что его на экзамене дадут и что? Строить поверхность (((
Я к опечатке склоняюсь всё же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 янв 2018, 17:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4046
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
601 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vice4 писал(а):
Точки максимума/минимума.

Обычно разделяют локальный и глобальный экстремум. Если имеется в виду глобальный экстремум, то его нет просто в виду степени многочлена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 янв 2018, 19:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 13:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кхм... интересный вопрос... я решил смежный вариант данного задания и еще 3 варианта. Там проблем нет. Система решается легко и корни находятся для системы так же легко. Буду думать. Сожет еще кто-то вариант решения предложит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 янв 2018, 21:03 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть вариант, как доказать, что экстремумов нет. Правда, много выкладок, нужно тщательно перепроверить.

Итак, [math]z = 6xy^2 - 12x^2y - y^2 + 54x + 48y + 1[/math].

Как я уже отмечал раньше, если экстремум есть, то он имеет место при [math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. Этот факт пригодится в дальнейшем. Для полноты решения приведу ниже его доказательство.

Необходимое условие экстремума:

[math]z_x' = 6y^2 - 24xy + 54 = 0[/math]

[math]y^2 - 4xy + 9 = 0[/math]

[math]D = 16x^2-36 \geqslant 0[/math]

[math]x^2 \geqslant \frac{9}{4}[/math]

[math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. Ч.т.д.

Теперь найдем производные второго порядка.

[math]z'' \equiv \begin{pmatrix} z_{xx}'' & z_{xy}'' \\ z_{yx}'' & z_{yy}'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24y & (12y - 24x) \\ (12y - 24x) & (12x-2) \end{pmatrix}[/math]

Покажем, что эта матрица является знакопеременной во всех точках, кроме тех, в которых заведомо нет экстремума. Есть теорема, согласно которой экстремума в точке не будет, если соответствующая матрица знакопеременна и невырождена. Это дается простым условием [math]det \ z'' < 0[/math] в случае двух переменных.

[math]det \ z'' = -24y(12x-2) - (12y-24x)^2 = -12 \cdot 4 \cdot (y(6x-1)+3(y-2x)^2) < 0[/math].

[math]3(y-2x)^2 + y(6x-1) > 0[/math]

Удобная замена [math]y - 2x = t[/math]

[math]3t^2 + (t+2x)(6x-1) > 0[/math]

[math]3t^2 + (6x-1)t + 2x(6x-1) > 0[/math]

[math]D_1 = (6x-1)^2 - 24x(6x-1) = (6x-1)(6x-1 - 24x) = -(6x-1)(18x+1)[/math]

Теперь вспомним, что [math]\left| x \right| \geqslant \frac{3}{2}[/math]. При этом [math]D_1 < 0[/math], то есть для любых [math]t[/math] будет [math]3t^2 + (6x-1)t + 2x(6x-1) > 0[/math], что равносильно [math]det \ z'' < 0[/math]. Таким образом, ни в одной точке экстремума быть не может.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
vice4
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 28 янв 2018, 22:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 2784
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
867 раз в 742 сообщениях
Очков репутации: 254

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vice4 писал(а):
Это всё понятно. Мне же пример решить надо. Вот представьте что его на экзамене дадут и что? Строить поверхность (((
Я к опечатке склоняюсь всё же.

Изобразив поверхность, я намекнул вам, что нужно провести дальнейшее исследование функции на экстремум.
Учите матчасть, а не сетуйте на опечатку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 29 янв 2018, 09:59 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 13:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Учите матчасть, а не сетуйте на опечатку.

Дальнейшее исследование функции это хорошо. Но повторюсь.
Я на экзамене получаю задание: исследовать функцию на экстремумы. Начинаю решать по алгоритму (частные производные, решаем систему, вторые производные в точках).
Теперь же по Вашему совету я должен взять и построить поверхность и потом уже провести дальнейшее исследование. Вот и вопрос КАК построить поверхность?

Space, красиво.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 29 янв 2018, 10:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4046
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
601 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vice4 писал(а):
Вот и вопрос КАК построить поверхность?

Извините, что встреваю. Но
1) В данной задаче нет хороших способов без компьютера построить поверхность.
2) Построение поверхности в данной задаче не является необходимостью.
3) Никто в данной ветке не предлагал вам построить поверхность.
4) То что нет экстремума не должно смущать. Просто надо доказать, что его нет.
5) Во многих местах под словом экстремум понимается глобальный экстремум https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC. Как это понимается у вас, вы мне не ответили. Его отсутствие в данной задаче очевидно без всяких производных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 29 янв 2018, 10:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 13:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, извиняю.

vvvv писал(а):
Изобразив поверхность, я намекнул вам, что нужно провести дальнейшее исследование функции на экстремум

Вот что написано. И моя трактовка такова: строим поверхность, доказываем, что экстремумов нет.

Есть еще вариант (помимо решения от Space): решать задачу стандартным способом и решить систему, например, методом Феррари.
Потом взять вторые производные и показать, что точки не являются экстремумами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 29 янв 2018, 13:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 2784
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
867 раз в 742 сообщениях
Очков репутации: 254

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vice4, ну, вы и нудный.Повторюсь -учите матчасть. Поверхность строить не нужно, об этом вам уже сказали.
Изобразив поверхность, я намекнул вам, что бывают случаи когда экстремума нет (хотя частные производные равны нулю).Вот тогда нужно провести дополнительные исследования функции - все это давным давно описано.А вы уперлись в поверхность :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на экстремум функцию двух переменных
СообщениеДобавлено: 29 янв 2018, 14:07 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
07 дек 2017, 13:43
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv, я - не нудный. Я дотошный. :oops:

vvvv писал(а):
бывают случаи когда экстремума нет (хотя частные производные равны нулю).

А разве я говорил иное? Для моего же конкретного случая главный вопрос: ГДЕ частные производные равны нулю? Как найти действительные корни уравнения?
И если найти их нельзя (собственно в этом и был мой первый вопрос), то как решить задание.
Повторюсь, сейчас единственное вразумительное решение есть от Space. Вы же, vvvv, окромя "читайте матчасть" и "нужно провести дополнительные исследования функции" ничего не предложили. Засим думаю тему можно помечать решенной ибо конструктива помимо "доказать, что экстремум отсутствует" не предвидится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Yurievna

2

152

17 май 2018, 11:35

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

mds

7

1338

13 окт 2010, 00:26

Исследовать функцию двух переменных на экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

Mari89

4

216

05 окт 2015, 18:46

Исследовать на экстремум функцию нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

aleksskay

14

1294

02 ноя 2011, 22:15

Исследовать функцию трёх переменных на условный экстремум

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fedorin

4

1425

14 май 2011, 23:17

Исследовать на экстремумы функцию двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Nastyshka

9

840

25 авг 2011, 13:50

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vertigo

2

382

31 май 2012, 01:09

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MrDrap

4

291

09 дек 2011, 15:26

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serg_miren

5

330

10 май 2012, 10:22

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

266

25 апр 2018, 15:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved