Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 12 янв 2018, 18:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2018, 18:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго вечера! Я не могу понять, как решить следующую задачу, здесь на скриншоте.
Это к теме про основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши). Знаю, вроде просто, но никак не могу догнать.

Важно! Ответы не нужны, нужно пояснение.


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 12 янв 2018, 22:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2432
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 541
Спасибо получено:
684 раз в 590 сообщениях
Очков репутации: 185

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
master_yoda
Первое задание. Немного поразмышляем.
Если перефразировать задачу, то требуется выбрать функцию, которая на указанном интервале пресекает ось [math]Ox[/math] один раз.
Первое, что приходит в голову, это то, что на концах интервала функция должна иметь разные знаки, т.е. [math]f(a)>0[/math], а [math]f(b)<0[/math] или наоборот.
Но этого не достаточно. Ведь если функция пересечет ось [math]Ox[/math] три раза, то у нее тоже будут разные знаки на концах.
Подумайте, какое условие надо добавить?

▼ Подсказка
Раз речь идет о дифференциальном исчислении, то думать надо о поведении производной


Второе задание.
Какая точка называется стационарной?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 13 янв 2018, 17:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2018, 18:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ли залючить, что функция имеет единственный корень, если на отрезке производная имеет ровно два корня на данном отрезке с различными знаками т.е. [math]f'(x1)*f'(x2)<0[/math] иными словами

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 13 янв 2018, 20:34 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 565
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
179 раз в 166 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
master_yoda писал(а):
Можно ли залючить, что функция имеет единственный корень, если на отрезке производная имеет ровно два корня на данном отрезке с различными знаками т.е. [math]f'(x1)*f'(x2)<0[/math] иными словами

Только по производной невозможно ничего сказать о корнях функции на заданном отрезке, так как функции, отличающиеся на постоянную, имеют одну и ту же производную.

И вообще неясно, что Вы называете корнями с разными знаками. Корень — это точка, в которой функция равна нулю. То есть, если [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] — корни производной, то по определению [math]f'(x_1) = f'(x_2) = 0[/math]. Если бы не было пояснения "[math]f'(x1)*f'(x2)<0[/math]", то я бы подумал, что корни с разными знаками таковы, что [math]x_1 < 0 < x_2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 13 янв 2018, 21:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2018, 18:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Только по производной невозможно ничего сказать о корнях функции на заданном отрезке, так как функции, отличающиеся на постоянную, имеют одну и ту же производную.

И вообще неясно, что Вы называете корнями с разными знаками...



Согласен, фигню сморозил. Извиняюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 13 янв 2018, 21:47 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 565
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
179 раз в 166 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Могу еще подсказать. Если производная функции на интервале не обращается в ноль, то на этом интервале функция монотонна и не может иметь более одного корня. Таким образом, нужно:

1. Найти нули производной на указанном интервале. Если они есть, то придется еще что-нибудь придумать.

2. Если у производной нулей нет, то найти (можно подобрать) хотя бы один корень функции. Если он есть, то он единственный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 14 янв 2018, 09:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4211
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
633 раз в 599 сообщениях
Очков репутации: 140

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первом задании функции 1,3,4,5,6 выпуклы на отрезке [-1,0] (вторая производная там неотрицательна). Выпуклая функция на отрезке не может иметь больше одного корня при условии, что её значения на концах отрезка разного знака. Для функции 2 поищите корни на этом отрезке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 14 янв 2018, 10:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4211
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
633 раз в 599 сообщениях
Очков репутации: 140

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором задании компьютер рисует возрастающую на отрезке [-5,-2] функцию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Когда фунция имеет единственный корень на отрезке?
СообщениеДобавлено: 14 янв 2018, 12:04 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 565
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
179 раз в 166 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Выпуклая функция на отрезке не может иметь больше одного корня при условии, что её значения на концах отрезка разного знака.

Интересный, а главное, довольно очевидный признак. Странно, что раньше никогда с ним не сталкивался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму корней уравнения или корень если он единственный

в форуме Алгебра

galia30

3

1072

05 июл 2011, 23:24

Когда уравнение не имеет смысла

в форуме Алгебра

Oleg9

4

470

01 сен 2015, 16:52

Величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-1;1]

в форуме Теория вероятностей

mellow

1

270

14 июн 2011, 13:55

Функция имеет один корень

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

spins06

21

943

26 июн 2015, 04:21

Доказать, что уравнение имеет корень

в форуме Алгебра

Stas

6

726

27 окт 2010, 22:41

Доказать, что уравнение имеет один корень

в форуме Алгебра

Artes

2

396

09 окт 2013, 17:02

Когда этот ряд сходится и когда расходится?

в форуме Ряды

Nickolay0512

1

179

29 окт 2014, 15:23

Доказать, что существует единственный линейный оператор

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Vincent_Low

1

731

28 май 2013, 09:47

Каждой тройке чисел соответствует единственный вектор

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

famesyasd

2

169

15 апр 2016, 15:30

Разделить корень 3-ей степени на квадратный корень из х

в форуме Алгебра

alekscooper

3

115

14 июл 2018, 18:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved