Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Teorinorgchem |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Teorinorgchem писал(а): Товарищи, объясните, пожалуйста, как вычислить n-ую производную (cos x)^4? Выразите вашу функцию через косинус удвоенного и учетверённого угла. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Teorinorgchem |
||
Space |
|
|
searcher писал(а): Выразите вашу функцию через косинус удвоенного и учетверённого угла. С идеей согласен. Только я бы выразил не саму функцию, а ее производную. Это несколько сократит объем выкладок. [math]f(x) = \left(\cos(x) \right)^4[/math] [math]f'(x) = -4 (\cos(x))^3\sin(x) = -2 (\cos(x))^2 \sin(2x) = -(1 + \cos(2x)) \sin(2x) = -\sin(2x) - \frac{1}{2}\sin(4x)[/math] Далее следует воспользоваться формулой (на мой взгляд удивительно красивой): [math](\sin(x))^{(n)} = \sin{\left( x+\frac{\pi n}{2} \right) }[/math] Замечу, что для косинуса формула совершенно такая же (что тоже восхитительно): [math](\cos(x))^{(n)} = \cos{\left( x+\frac{\pi n}{2} \right) }[/math] Осталось только придумать, что делать с коэффициентами при [math]x[/math]. Попробуйте найти закономерность, вычислив несколько производных. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: Teorinorgchem |
||
Teorinorgchem |
|
|
Огромное спасибо за ответы! Так легко оказывается. Ответ правильный?
f(n) (x) =2^(n-1)*cos(2x+pi*n/2)+4^(n-1)*cos(4x+pi*n/2) |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
У меня получилось [math]f^{(n)}(x) = 2^{n-1}\cos{\left(2x + \frac{\pi n}{2} \right) } + \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1}\cos{\left(4x + \frac{\pi n}{2} \right) }[/math].
Кажется, Вы [math]\frac{1}{2}[/math] потеряли. |
||
Вернуться к началу | ||
Teorinorgchem |
|
|
Space писал(а): У меня получилось <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-3-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>f</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⋅</mo><msup><mn>4</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math>" role="presentation" style="position: relative;"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-70" style="width: 24.246em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 36.766em; height: 0px; font-size: 66%;"><span style="position: absolute; clip: rect(2.795em 1036.61em 5.347em -999.996em); top: -4.382em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-71"><span class="msubsup" id="MathJax-Span-72"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.679em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.034em 1000.56em 4.47em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-73" style="font-family: MathJax_Math-italic;">f<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.084em;"></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.642em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-74"><span class="mrow" id="MathJax-Span-75"><span class="mo" id="MathJax-Span-76" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-77" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-78" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">)</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-79" style="font-family: MathJax_Main;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-80" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-81" style="font-family: MathJax_Main;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-82" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">=</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-83" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.918em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-84" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.482em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-85"><span class="mrow" id="MathJax-Span-86"><span class="mi" id="MathJax-Span-87" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-88" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">−</span><span class="mn" id="MathJax-Span-89" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">1</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-90" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.163em;">cos</span><span class="mo" id="MathJax-Span-91"></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-92" style="padding-left: 0.163em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-93"><span class="mrow" id="MathJax-Span-94"><span class="mo" id="MathJax-Span-95" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">(</span></span><span class="mrow" id="MathJax-Span-96"><span class="mn" id="MathJax-Span-97" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span class="mi" id="MathJax-Span-98" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-99" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-100" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.28em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.274em 1001.12em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.554em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-101"><span class="mi" id="MathJax-Span-102" style="font-family: MathJax_Math-italic;">π<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.004em;"></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-103" style="font-family: MathJax_Math-italic;">n</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-104" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1001.28em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 1.28em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-105" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">)</span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-106" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-107" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.642em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.4em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-108" style="font-family: MathJax_Main;">1</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-109" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1000.64em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 0.642em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-110" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">⋅</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-111" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.918em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-112" style="font-family: MathJax_Main;">4</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.482em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-113"><span class="mrow" id="MathJax-Span-114"><span class="mi" id="MathJax-Span-115" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-116" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">−</span><span class="mn" id="MathJax-Span-117" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">1</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-118" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.163em;">cos</span><span class="mo" id="MathJax-Span-119"></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-120" style="padding-left: 0.163em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-121"><span class="mrow" id="MathJax-Span-122"><span class="mo" id="MathJax-Span-123" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">(</span></span><span class="mrow" id="MathJax-Span-124"><span class="mn" id="MathJax-Span-125" style="font-family: MathJax_Main;">4</span><span class="mi" id="MathJax-Span-126" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-127" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-128" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.28em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.274em 1001.12em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.554em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-129"><span class="mi" id="MathJax-Span-130" style="font-family: MathJax_Math-italic;">π<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.004em;"></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-131" style="font-family: MathJax_Math-italic;">n</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-132" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1001.28em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 1.28em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-133" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">)</span></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.39em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.524em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.476em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>f</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo></mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⋅</mo><msup><mn>4</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo></mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3">f^{(n)}(x) = 2^{n-1}\cos{\left(2x + \frac{\pi n}{2} \right) } + \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1}\cos{\left(4x + \frac{\pi n}{2} \right) }</script>. Кажется, Вы <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-4-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>" role="presentation" style="position: relative;"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-134" style="width: 0.961em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.439em; height: 0px; font-size: 66%;"><span style="position: absolute; clip: rect(-0.554em 1001.44em 1.998em -999.996em); top: -1.033em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-135"><span class="mfrac" id="MathJax-Span-136"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.642em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.4em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-137" style="font-family: MathJax_Main;">1</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-138" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1000.64em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 0.642em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.041em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.524em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.476em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-4">\frac{1}{2}</script> потеряли. Да, действительно. Ещё раз спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
239 |
17 июн 2016, 17:28 |
|
Производная
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
358 |
26 июн 2015, 00:27 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
251 |
25 май 2015, 22:36 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
276 |
19 май 2015, 23:59 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
297 |
15 май 2015, 02:54 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
7 |
376 |
03 мар 2015, 14:46 |
|
Производная
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
5 |
655 |
14 фев 2015, 11:22 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
409 |
12 фев 2015, 16:44 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
350 |
27 янв 2015, 08:24 |
|
Производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
323 |
12 янв 2015, 15:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |