Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 окт 2017, 20:16
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Товарищи, объясните, пожалуйста, как вычислить n-ую производную (cos x)^4? Именно в общем виде, а не конкретную какую-то. И вообще как подобного рода вещи считать с периодическими функциями

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 22:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3897
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Teorinorgchem писал(а):
Товарищи, объясните, пожалуйста, как вычислить n-ую производную (cos x)^4?

Выразите вашу функцию через косинус удвоенного и учетверённого угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Teorinorgchem
 Заголовок сообщения: Re: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 23:11 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 534
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
171 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Выразите вашу функцию через косинус удвоенного и учетверённого угла.

С идеей согласен. Только я бы выразил не саму функцию, а ее производную. Это несколько сократит объем выкладок.

[math]f(x) = \left(\cos(x) \right)^4[/math]
[math]f'(x) = -4 (\cos(x))^3\sin(x) = -2 (\cos(x))^2 \sin(2x) = -(1 + \cos(2x)) \sin(2x) = -\sin(2x) - \frac{1}{2}\sin(4x)[/math]

Далее следует воспользоваться формулой (на мой взгляд удивительно красивой):
[math](\sin(x))^{(n)} = \sin{\left( x+\frac{\pi n}{2} \right) }[/math]
Замечу, что для косинуса формула совершенно такая же (что тоже восхитительно):
[math](\cos(x))^{(n)} = \cos{\left( x+\frac{\pi n}{2} \right) }[/math]

Осталось только придумать, что делать с коэффициентами при [math]x[/math]. Попробуйте найти закономерность, вычислив несколько производных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Teorinorgchem
 Заголовок сообщения: Re: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 23:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 окт 2017, 20:16
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное спасибо за ответы! Так легко оказывается. Ответ правильный?
f(n) (x) =2^(n-1)*cos(2x+pi*n/2)+4^(n-1)*cos(4x+pi*n/2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 11:33 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 534
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
171 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось [math]f^{(n)}(x) = 2^{n-1}\cos{\left(2x + \frac{\pi n}{2} \right) } + \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1}\cos{\left(4x + \frac{\pi n}{2} \right) }[/math].
Кажется, Вы [math]\frac{1}{2}[/math] потеряли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: N-ая производная
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 18:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 окт 2017, 20:16
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
У меня получилось <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-3-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><msup><mi>f</mi><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mo stretchy=&quot;false&quot;>(</mo><mi>n</mi><mo stretchy=&quot;false&quot;>)</mo></mrow></msup><mo stretchy=&quot;false&quot;>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy=&quot;false&quot;>)</mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>&#x03C0;</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>&#x22C5;</mo><msup><mn>4</mn><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>&#x03C0;</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math>" role="presentation" style="position: relative;"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-70" style="width: 24.246em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 36.766em; height: 0px; font-size: 66%;"><span style="position: absolute; clip: rect(2.795em 1036.61em 5.347em -999.996em); top: -4.382em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-71"><span class="msubsup" id="MathJax-Span-72"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.679em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.034em 1000.56em 4.47em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-73" style="font-family: MathJax_Math-italic;">f<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.084em;"></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.642em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-74"><span class="mrow" id="MathJax-Span-75"><span class="mo" id="MathJax-Span-76" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-77" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-78" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">)</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-79" style="font-family: MathJax_Main;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-80" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-81" style="font-family: MathJax_Main;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-82" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">=</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-83" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.918em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-84" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.482em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-85"><span class="mrow" id="MathJax-Span-86"><span class="mi" id="MathJax-Span-87" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-88" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">−</span><span class="mn" id="MathJax-Span-89" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">1</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-90" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.163em;">cos</span><span class="mo" id="MathJax-Span-91"></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-92" style="padding-left: 0.163em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-93"><span class="mrow" id="MathJax-Span-94"><span class="mo" id="MathJax-Span-95" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">(</span></span><span class="mrow" id="MathJax-Span-96"><span class="mn" id="MathJax-Span-97" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span class="mi" id="MathJax-Span-98" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-99" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-100" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.28em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.274em 1001.12em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.554em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-101"><span class="mi" id="MathJax-Span-102" style="font-family: MathJax_Math-italic;">π<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.004em;"></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-103" style="font-family: MathJax_Math-italic;">n</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-104" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1001.28em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 1.28em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-105" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">)</span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-106" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-107" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.642em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.4em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-108" style="font-family: MathJax_Main;">1</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-109" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1000.64em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 0.642em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-110" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">⋅</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-111" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.918em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.983em; left: 0em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-112" style="font-family: MathJax_Main;">4</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.382em; left: 0.482em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-113"><span class="mrow" id="MathJax-Span-114"><span class="mi" id="MathJax-Span-115" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math-italic;">n</span><span class="mo" id="MathJax-Span-116" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">−</span><span class="mn" id="MathJax-Span-117" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">1</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-118" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.163em;">cos</span><span class="mo" id="MathJax-Span-119"></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-120" style="padding-left: 0.163em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-121"><span class="mrow" id="MathJax-Span-122"><span class="mo" id="MathJax-Span-123" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">(</span></span><span class="mrow" id="MathJax-Span-124"><span class="mn" id="MathJax-Span-125" style="font-family: MathJax_Main;">4</span><span class="mi" id="MathJax-Span-126" style="font-family: MathJax_Math-italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-127" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.243em;">+</span><span class="mfrac" id="MathJax-Span-128" style="padding-left: 0.243em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.28em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.274em 1001.12em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.554em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-129"><span class="mi" id="MathJax-Span-130" style="font-family: MathJax_Math-italic;">π<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.004em;"></span></span><span class="mi" id="MathJax-Span-131" style="font-family: MathJax_Math-italic;">n</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-132" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1001.28em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 1.28em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-133" style="vertical-align: 0em;"><span style="font-family: MathJax_Size2;">)</span></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.39em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.524em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.476em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>f</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⋅</mo><msup><mn>4</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3">f^{(n)}(x) = 2^{n-1}\cos{\left(2x + \frac{\pi n}{2} \right) } + \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1}\cos{\left(4x + \frac{\pi n}{2} \right) }</script>.
Кажется, Вы <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-4-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>" role="presentation" style="position: relative;"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-134" style="width: 0.961em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.439em; height: 0px; font-size: 66%;"><span style="position: absolute; clip: rect(-0.554em 1001.44em 1.998em -999.996em); top: -1.033em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-135"><span class="mfrac" id="MathJax-Span-136"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.642em; height: 0px; margin-right: 0.163em; margin-left: 0.163em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.4em 4.23em -999.996em); top: -4.621em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-137" style="font-family: MathJax_Main;">1</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.114em 1000.48em 4.23em -999.996em); top: -3.266em; left: 50%; margin-left: -0.235em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-138" style="font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.991em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.801em 1000.64em 1.36em -999.996em); top: -1.352em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 0.642em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.12em;"></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.041em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.524em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.476em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-4">\frac{1}{2}</script> потеряли.

Да, действительно. Ещё раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
12-ая производная

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

6

665

29 июн 2014, 11:20

Производная

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

ilonka

2

246

25 июн 2014, 11:16

Производная

в форуме Дифференциальное исчисление

areon

2

158

27 апр 2014, 09:41

производная

в форуме Дифференциальное исчисление

jackystorm

16

687

21 окт 2012, 22:42

Производная

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

1

113

30 мар 2014, 18:08

Производная

в форуме Дифференциальное исчисление

lizasimpson

4

179

30 мар 2014, 16:16

Производная

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

jululib

3

318

22 ноя 2012, 18:27

Производная

в форуме Дифференциальное исчисление

SergeyKunuwin

1

218

01 дек 2012, 20:17

Производная

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

1Curt

3

316

06 фев 2014, 22:33

Производная

в форуме Алгебра

persimmon

1

166

04 фев 2014, 21:39


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved