Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наибольшее и наименьшее значение функции
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решил вспомнить матан за 2-ой курс и совершенно забыл, как мы искали наименьшее и наибольшее значение функции при заданном условии. Помню что нужно было составить функцию Лагранжа, находить лямбду, а затем x и y. Но вот что дальше совсем не помню и в интернете не смог найти ничего путного, надеюсь тут помогут мне это вспомнить.

Вот сама задача:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции[math]z=x^{2}-xy-y^{2}[/math] в области [math]2x^{2}+xy+y^{2} \leqslant 1[/math]

Решение:
Составляю функцию Лагранжа:
[math]L=x^{2}-xy-y^{2}+ \lambda (2x^{2}+xy +y^{2}-1 )[/math]

Составляю систему:
[math]\frac{\partial L}{\partial x}[/math]=[math]2x-y+4 \lambda x+y \lambda =0[/math]
[math]\frac{\partial L}{\partial y}[/math]=[math]-x-2y+ \lambda x+2y \lambda[/math]

Затем нахожу определитель данной системы и приравниваю его к нулю, что найти нетривиальные решения системы
Получаю:
[math]7\lambda ^{2}-2 \lambda -5=0[/math]
Отсюда
[math]\lambda _{1}[/math] =1
[math]\lambda _{2}[/math] =[math]\frac{ -5 }{ 7 }[/math]

А вот что дальше с ними делать я забыл. Если подставить их в систему, то [math]x[/math] и [math]y[/math] ведь занулятся.
Буду рад любой помощи и подсказкам. Спасибо


Последний раз редактировалось khammisha 21 дек 2017, 21:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшее и наименьшее значение функции
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 21:22 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 132
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
39 раз в 38 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не все так, в основном тут не строгое равенство [math]2x^2+xy+y^2=1[/math], а "[math]\leqslant[/math]"
1) Для начала пытаемся найти внутри области ([math]2x^2+xy+y^2<1[/math]), для этого [math]\frac{\part z}{\part x} = \frac{\part z}{\part y} = 0[/math] (2 уравнения, 2 неизвестных)
2) Затем пытаемся найти минимум или максимум на границе [math]\frac{\part L}{\part x} = \frac{\part L}{\part y} = 0[/math] с условием [math]2x^2+xy+y^2=1[/math] (3 уравнения, 3 неизвестных)
3) Далее уже смотрим кто там максимум кто там минимум например подставляя

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
khammisha
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшее и наименьшее значение функции
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 21:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Не все так, в основном тут не строгое равенство [math]2x^2+xy+y^2=1[/math], а "[math]\leqslant[/math]"
1) Для начала пытаемся найти внутри области ([math]2x^2+xy+y^2<1[/math]), для этого [math]\frac{\part z}{\part x} = \frac{\part z}{\part y} = 0[/math] (2 уравнения, 2 неизвестных)


Выполняю 1-ый пункт:
[math]\frac{\partial z}{\partial x} =2x-y=0[/math]
[math]\frac{\partial z}{\partial y}=-x-2y=0[/math]
решение данной системы [math]x=y=0[/math], данное решение очевидно лежит в области .


Slon писал(а):
2) Затем пытаемся найти минимум или максимум на границе [math]\frac{\part L}{\part x} = \frac{\part L}{\part y} = 0[/math] с условием [math]2x^2+xy+y^2=1[/math] (3 уравнения, 3 неизвестных)
3) Далее уже смотрим кто там максимум кто там минимум например подставляя


Ну вот пункты 2 и 3 это и же и есть, то что я написал в своем первом сообщении?
Я нашел [math]\lambda[/math], и дальше что с ними делать не знаю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшее и наименьшее значение функции
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 22:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все, понял) Спасибо большое)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшее и наименьшее значение функции
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 14:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 132
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
39 раз в 38 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На всякий случай я еще уточню: не нужно было искать [math]\lambda[/math] при котором система вырождается, а наоборот, воспользоваться тем, что там два уравнения и избавиться от [math]\lambda[/math].
Тогда можно получить, что [math]x=0[/math] или [math]x+2y=0[/math], что вместе с [math]2x^2+xy+y^2=1[/math] дает еще 4 кандидата на минимум и максимум

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Наименьшее и наибольшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Fenya

3

410

07 июн 2013, 19:05

Наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

STerkaGeek

4

236

05 май 2016, 18:27

Наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

demba ba

9

439

21 янв 2013, 20:22

Наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

vektorzxc

12

688

25 мар 2015, 18:19

Наименьшее и наибольшее значение функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

textary

2

249

11 апр 2014, 19:48

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Klyaksa

9

601

14 июн 2014, 18:41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

alinochek

2

344

20 мар 2012, 09:41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Tracerzzzzz

7

619

23 ноя 2014, 17:20

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

dmitryi3011

1

15

16 июн 2017, 14:15

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в форуме Дифференциальное исчисление

bibibo

1

78

19 дек 2016, 15:23


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved