Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 17:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 01:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости даны две различные точки [math]P_{1}(a_{1},b_{1})[/math] и [math]P_2(a_{2},b_{2}),a_{1} \geqslant a_{2}>0, b_{2} \geqslant b_{1}>0[/math]. Найти точку [math]Q_{1}[/math] на оси [math]OX[/math] и точку [math]Q_{2}[/math] на оси [math]OY[/math], чтобы длина ломаной [math]P_{1}Q_{1}Q_{2}P_{2}[/math] была наименьшей.

Ответ известен, [math]|OQ_{1}|=\frac{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{b_{1}+b_{2}},|OQ_{2}|=\frac{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}+a_{2}}[/math]. Не понятно, как прийти к этому ответу. Я пытался минимизировать функцию [math]f=\sqrt{a_{2}^{2}+(y-b_{2})^2}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-a_{1})^2+b_{1}^2}[/math], но мне не удалось найти даже критические точки. Если бы даже я их нашел, исследовать знак [math]d^2f[/math] было бы ещё сложнее. Может, нужно взять какую-то другую функцию и какие-то условия и использовать метод множителей Лагранжа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 18:14 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681

Я предполагаю, что точки [math]Q_1[/math] и [math]Q_2[/math] должны обе находиться в начале координат. В этом случае ломаная является границей треугольника, две вершины которого заданы, а третья находится в начале координат.

P. S. Я подумал и понял, что заблуждался. Наверное будет лучше, если Вы покажете своё решение. Возможно, в нём есть ошибка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 19:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
anpe0681, Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 22:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.

Это неправда.Посмотрите внимательней.
Andy, оказался прав (но он оказался от своего предположения :) ). ТС предлагается проделать численный пример по результатам известного ответа.
Наверное, ответ все-таки, неверный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 00:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Это неправда

Таки это правда :) . Если проделать манипуляции swan'а, то получится ответ, который привёл ТС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 00:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
ТС предлагается проделать численный пример

Навскидку: [math](a_1, b_1) \to (5, 1), (a_2, b_2) \to (4, 6)[/math].
Тогда расстояние по swan[math]d=\sqrt130 \approx 11.40[/math]. А если [math]Q_1[/math] и [math]Q_2[/math] в начале координат, то [math]d=\sqrt26 + \sqrt52 \approx 12.31[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 08:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Виноват. Плохо посмотрел условие. В своем численном примере принял b1>=b2.
Оказывается, что это условие существенно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 10:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По осям располагаете зеркала и пускаете луч света. Он пойдёт кратчайшей дорогой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 16:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 01:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.


Догадался: потому что длина отрезка прямой между двумя точками не больше длины любой ломаной, их соединяющей. Вычислил положение точек [math]Q_{1}, Q_{2}[/math], всё сошлось с ответом. Спасибо. Только я так и не понял, при чём тут дифференциальное исчисление (задача помещена в разделе о поиске экстремумов функций нескольких переменных с помощью частных производных и множителей Лагранжа)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 16:34 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681
anpe0681 писал(а):
Только я так и не понял, при чём тут функции нескольких переменных (задача помещена в разделе о поиске экстремумов функций нескольких переменных с помощью частных производных и множителей Лагранжа)?

При том, что этот метод позволяет решать подобные задачи тем, кто не отличается сообразительностью. Например, таким, как я. Наверное, нужно было всё-таки поискать ошибку в вычислениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Приближение ломаной, куда копать?

в форуме Численные методы

BlindB

9

517

17 янв 2017, 13:32

Разрезание многоугольника произвольной ломаной

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

deathguard771

3

340

05 май 2015, 13:19

Построение ломаной с минимальным периметром

в форуме Геометрия

Ivanornot

4

383

06 июл 2014, 21:15

Максимум площади поверхности вращения ломаной

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Li6-D

15

981

07 фев 2021, 11:50

Найти угол наклона ломаной, построенной по lt1 ln1 lt2 ln2

в форуме Геометрия

noname1

3

477

21 сен 2015, 11:43

Построение замкнутой ломаной линии без самопересечений

в форуме Информатика и Компьютерные науки

AndriiSvityi

10

419

10 ноя 2021, 11:23

Наименьшая сумма

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

IvanPetrovPRO

1

264

09 фев 2021, 11:16

Наименьшая высота проёма

в форуме Дифференциальное исчисление

k_k

4

354

21 май 2016, 14:17

Наименьшая n числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DorisNoris

9

166

03 ноя 2020, 12:52

Наименьшая средняя квадратическая оценка

в форуме Теория вероятностей

TeorVer

0

309

25 сен 2015, 00:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved