Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 18:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости даны две различные точки [math]P_{1}(a_{1},b_{1})[/math] и [math]P_2(a_{2},b_{2}),a_{1} \geqslant a_{2}>0, b_{2} \geqslant b_{1}>0[/math]. Найти точку [math]Q_{1}[/math] на оси [math]OX[/math] и точку [math]Q_{2}[/math] на оси [math]OY[/math], чтобы длина ломаной [math]P_{1}Q_{1}Q_{2}P_{2}[/math] была наименьшей.

Ответ известен, [math]|OQ_{1}|=\frac{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{b_{1}+b_{2}},|OQ_{2}|=\frac{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}+a_{2}}[/math]. Не понятно, как прийти к этому ответу. Я пытался минимизировать функцию [math]f=\sqrt{a_{2}^{2}+(y-b_{2})^2}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-a_{1})^2+b_{1}^2}[/math], но мне не удалось найти даже критические точки. Если бы даже я их нашел, исследовать знак [math]d^2f[/math] было бы ещё сложнее. Может, нужно взять какую-то другую функцию и какие-то условия и использовать метод множителей Лагранжа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 19:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15026
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 936
Спасибо получено:
3311 раз в 3059 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681

Я предполагаю, что точки [math]Q_1[/math] и [math]Q_2[/math] должны обе находиться в начале координат. В этом случае ломаная является границей треугольника, две вершины которого заданы, а третья находится в начале координат.

P. S. Я подумал и понял, что заблуждался. Наверное будет лучше, если Вы покажете своё решение. Возможно, в нём есть ошибка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 20:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3130
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
686 раз в 619 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
anpe0681, Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 23:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.

Это неправда.Посмотрите внимательней.
Andy, оказался прав (но он оказался от своего предположения :) ). ТС предлагается проделать численный пример по результатам известного ответа.
Наверное, ответ все-таки, неверный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 01:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
134 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Это неправда

Таки это правда :) . Если проделать манипуляции swan'а, то получится ответ, который привёл ТС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 01:31 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
134 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
ТС предлагается проделать численный пример

Навскидку: [math](a_1, b_1) \to (5, 1), (a_2, b_2) \to (4, 6)[/math].
Тогда расстояние по swan[math]d=\sqrt130 \approx 11.40[/math]. А если [math]Q_1[/math] и [math]Q_2[/math] в начале координат, то [math]d=\sqrt26 + \sqrt52 \approx 12.31[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 09:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Виноват. Плохо посмотрел условие. В своем численном примере принял b1>=b2.
Оказывается, что это условие существенно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 11:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По осям располагаете зеркала и пускаете луч света. Он пойдёт кратчайшей дорогой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 17:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Отражаете одну точку относительно оси у во второй квадрант, другую относительно оси х в четвертый.
Соединяйте образы - прямая на осях высечет нужные точки.
Почему - догадайтесь сами.


Догадался: потому что длина отрезка прямой между двумя точками не больше длины любой ломаной, их соединяющей. Вычислил положение точек [math]Q_{1}, Q_{2}[/math], всё сошлось с ответом. Спасибо. Только я так и не понял, при чём тут дифференциальное исчисление (задача помещена в разделе о поиске экстремумов функций нескольких переменных с помощью частных производных и множителей Лагранжа)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая длина ломаной
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 17:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15026
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 936
Спасибо получено:
3311 раз в 3059 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681
anpe0681 писал(а):
Только я так и не понял, при чём тут функции нескольких переменных (задача помещена в разделе о поиске экстремумов функций нескольких переменных с помощью частных производных и множителей Лагранжа)?

При том, что этот метод позволяет решать подобные задачи тем, кто не отличается сообразительностью. Например, таким, как я. Наверное, нужно было всё-таки поискать ошибку в вычислениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построение ломаной с минимальным периметром

в форуме Геометрия

Ivanornot

4

233

06 июл 2014, 22:15

Приближение ломаной, куда копать?

в форуме Численные методы

BlindB

9

197

17 янв 2017, 14:32

Разрезание многоугольника произвольной ломаной

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

deathguard771

3

157

05 май 2015, 14:19

Найти угол наклона ломаной, построенной по lt1 ln1 lt2 ln2

в форуме Геометрия

noname1

3

139

21 сен 2015, 12:43

Наименьшая сумма отрезков

в форуме Дифференциальное исчисление

dollemika

6

328

24 ноя 2011, 01:16

Наименьшая высота проёма

в форуме Дифференциальное исчисление

k_k

4

156

21 май 2016, 15:17

Наименьшая средняя квадратическая оценка

в форуме Теория вероятностей

TeorVer

0

100

25 сен 2015, 01:58

Наименьшая площадь описанного четырехугольника

в форуме Дифференциальное исчисление

anpe0681

5

67

18 окт 2017, 00:34

Какова наименьшая возможная площадь треугольника?

в форуме Геометрия

spins06

3

294

30 июн 2015, 04:03

Длина дуг кривых

в форуме Интегральное исчисление

Matlamer

12

533

22 июн 2012, 14:58


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved