Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 10:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, участники форума. Я бы хотел обсудить две задачки, которые я решаю для подготовки к кр.
1) Найти экстремумы функции [math]\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{Z} \left( \mathsf{x} , \mathsf{y} \right)[/math]
[math]\boldsymbol{x} ^{4}[/math] + [math]\boldsymbol{y} ^{4}[/math] + [math]\boldsymbol{z} ^{4}[/math] = 2 ( [math]\boldsymbol{x} ^{2} + \boldsymbol{y} ^{2} + \boldsymbol{z} ^{2})[/math]
Насколько я понял, мне нужно найти первую производную по [math]\boldsymbol{x}[/math] , по [math]\boldsymbol{y}[/math] , приравнять их к нулю, найти ( [math]\boldsymbol{x} _{0}[/math], [math]\boldsymbol{y} _{0}[/math]), найти значения [math]\boldsymbol{z}[/math] в этих точках, а затем посмотреть на знак второй производной - если > 0 , то min, если < 0 то max. Так ли это ?

2) Найти условные экстремумы функции [math]\boldsymbol{U} = \boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z}[/math] , уравнение связи [math]\boldsymbol{x} ^{2} + \boldsymbol{y} ^{2} + \boldsymbol{z} ^{2} = 0[/math]
Здесь нужно использовать функцию Лагранжа, найти ее первую производную по [math]\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} , \boldsymbol{z} ,[/math] составить систему, включив уравнение связи, найти точку ( [math]\boldsymbol{x} _{0}[/math], [math]\boldsymbol{y} _{0}, \boldsymbol{z} _{0}, \lambda _{0}[/math]) и так же посмотреть на знак второй производной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 21:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По первой задаче. Проще для начала сделать замену переменных [math]X=x^2[/math], [math]Y=y^2[/math], [math]Z=z^2[/math]. Тогда у нас получится сфера в положительном октанте. Минимум и максимум [math]Z[/math] ищется легко из геометрических соображений. Но можете легко решить аналитически как вы писали, либо с помощью множителей Лагранжа.
По второй задаче. Для начала попробуйте прикинуть, какое множество задаёт уравнение связи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 21:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Ага, я Вас понял. Если делать так, как я предложил, то у меня получилось 9 точек ( [math]\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}[/math] ) со значениями 0 и [math]\pm[/math]1. Но если для некоторых точек я могу точно сказать больше или меньше 0 [math]\boldsymbol{d} ^{2} \boldsymbol{U}[/math], то, скажем, для точки (0, -1) [math]\boldsymbol{d} ^{2} \boldsymbol{U}[/math] = -4 [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{x} ^{2}[/math] + 12 [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{y} ^{2}[/math] + (12 [math]\boldsymbol{z} ^{2}[/math] - 4) [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{z} ^{2}[/math] непонятно какого знака.

2) Как я понял [math]\boldsymbol{x} ^{2} + \boldsymbol{y} ^{2} +\boldsymbol{z} ^{2}[/math] = 0 задает нам точку в начале отсчета, т.е. (0,0,0). Она у меня и получилась как экстремум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 22:43 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По первой задаче.Заданному уравнению соответствует поверхность - см.картинку.
Там получается 18 экстремальных значений функции z(x,y).
Изображение
P.S. Желтая плоскость - для контрастности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 22:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему получается 10? Ведь первая производная имеет вид [math]4\boldsymbol{x} ^{3} - 4\boldsymbol{x} = 0[/math] по [math]\boldsymbol{x}[/math] , по [math]\boldsymbol{y}[/math] то же. И отсюда получаются 3 значения - [math]0, \pm 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 22:59 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не десять,а 18. 9 вверху и 9 внизу.
Я исправил десятку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 23:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А, ну да. Теперь я понял. Для каждого заданного значения ( [math]\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}[/math] ) у нас есть 2 значения [math]\boldsymbol{z}[/math] . Но одно я все еще пока не могу уяснить - как определить что за экстремум, если нельзя точно определить знак [math]\boldsymbol{d} ^{2} \boldsymbol{U}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 23:09 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще-то, там в некоторых точках получаются "седла", так что нет ни максимума ни минимума.
Получается четыре глобальных максимума и столько же глобальных минимума.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 23:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точно, совершенно вылетело из головы про "седла".
Да, вроде так и у меня получилось, большое спасибо за пояснения)

P.s. По поводу 2й задачи - У меня получилось следущее. В точке (0,0,0) знак [math]\boldsymbol{d} ^{2} \boldsymbol{U}[/math] зависит только от [math]\boldsymbol{\lambda}[/math]
Если [math]\boldsymbol{\lambda} > 0[/math] , то min, если [math]\boldsymbol{\lambda} < 0[/math] то max. А если предположить, что [math]\boldsymbol{\lambda}[/math] = 0, что в этом случае будет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремумов и условных экстремумов
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 09:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 10:36
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В предыдущем сообщении я допустил ошибку - не [math]\boldsymbol{d}^{2} \boldsymbol{U}[/math] , а [math]\boldsymbol{d} ^{2} \boldsymbol{L}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение экстремумов

в форуме Дифференциальное исчисление

Fsq

9

389

10 ноя 2012, 16:01

Метод условных вариант

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

CM Punk

0

58

14 май 2017, 15:33

Количество экстремумов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

user16

7

133

02 июн 2017, 16:58

Текстовая задача на исследование экстремумов функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

urugvai

2

104

17 апр 2017, 19:44

Нахождение ОДЗ

в форуме Алгебра

Climacool

1

438

03 дек 2011, 18:19

Нахождение НОД

в форуме Теория чисел

Easy4G

6

199

20 ноя 2015, 22:18

Нахождение inf и sup

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mirazhana

7

1658

11 янв 2013, 18:11

Нахождение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Juli161

1

120

10 ноя 2013, 14:41

Нахождение пределов.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STORMARTS

10

377

02 дек 2011, 07:02

Нахождение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vladimir2015

0

77

08 дек 2015, 19:01


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved