Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
anpe0681 |
|
|
Опять задача из сборника задач Виноградовой, Олехника, Садовничего, стр. 368, номер 315. Доказать, что из всех четырехугольников,описанных вокруг круга радиуса R, наименьшую площадь имеет квадрат. Ну, нашёл я формулу в интернете для площади описанного четырехугольника [math]S=\sqrt{abcd}\sin\theta[/math]. Беру производные по каждому из пяти переменных, но критических точек типа квадрата (a=b=c=d) не вижу вообще. Как же быть? Может, с какой-то другой формулой лучше будет, пусть и условный экстремум (скажем, с условием a+b-c-d=0) с множителями Лагранжа? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Тут важно правильно пространство параметров задачи. Рассмотрим точки касания круга (для простоты единичного радиуса) и четырёхугольника. В качестве параметров можно взять их углы в полярных координатах. |
||
Вернуться к началу | ||
anpe0681 |
|
|
searcher писал(а): Тут важно правильно пространство параметров задачи. Рассмотрим точки касания круга (для простоты единичного радиуса) и четырёхугольника. В качестве параметров можно взять их углы в полярных координатах. В том-то и дело, что теорию я всю прочёл и разобрался, и в принципе должен уметь эту задачу решить. Но не получается. Не понимаю также, какое в вашем предложении получится равенство для площади. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
anpe0681
А Вы использовали какое нибудь ограничение для [math]a,b,c,d, \theta[/math] ,исходя из того что четырехугольник описан около окружности? |
||
Вернуться к началу | ||
anpe0681 |
|
|
erjoma писал(а): anpe0681 А Вы использовали какое нибудь ограничение для [math]a,b,c,d, \theta[/math] ,исходя из того что четырехугольник описан около окружности? Единственное ограничение, которое я тут вижу, это [math]a+b-c-d=0[/math] Но не уверен, что если его использовать, выйдет что-то дельное. |
||
Вернуться к началу | ||
anpe0681 |
|
|
Задача решена. Использовал формулу площади [math]S=\frac{a+b+c+d}{2}r=r^2\left(\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\beta}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\gamma}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\delta}{2}\right)[/math], где [math]a,b,c,d[/math] - стороны четырехугольника, [math]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/math] - углы четырехугольника, [math]r[/math] - радиус окружности. Тогда уравнение связи - [math]\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\pi[/math]. И, используя метод множителей Лагранжа, легко получаем ответ: [math]\alpha=\beta=\gamma=\delta[/math] и [math]a=b=c=d[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Площадь описанного четырёхугольника
в форуме Геометрия |
1 |
352 |
16 мар 2017, 23:38 |
|
Какова наименьшая возможная площадь треугольника?
в форуме Геометрия |
3 |
945 |
30 июн 2015, 03:03 |
|
Площадь четырехугольника
в форуме Тригонометрия |
3 |
280 |
12 окт 2021, 12:13 |
|
Площадь четырехугольника
в форуме Геометрия |
1 |
296 |
31 дек 2018, 20:47 |
|
Площадь четырехугольника | 3 |
381 |
16 ноя 2019, 18:00 |
|
Площадь четырёхугольника
в форуме Геометрия |
3 |
1014 |
12 окт 2014, 18:58 |
|
Площадь четырёхугольника
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
0 |
473 |
12 окт 2014, 18:50 |
|
Задача на площадь четырехугольника
в форуме Геометрия |
1 |
713 |
19 дек 2014, 13:58 |
|
Площадь четырехугольника как найти
в форуме Геометрия |
9 |
364 |
22 апр 2019, 23:00 |
|
Площадь четырехугольника по углам и двум сторонам
в форуме Геометрия |
4 |
566 |
14 июн 2017, 11:38 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |