Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 00:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уж эти экстремумы функций нескольких переменных. Ещё 16 задач таких, а я всё никак не пойму, как лучше записать условие, чтобы решить с множителями Лагранжа (или просто с приравниванием нулю производных). Видимо, я в ближайшем будущем буду частым гостем в этом разделе.
Опять задача из сборника задач Виноградовой, Олехника, Садовничего, стр. 368, номер 315.
Доказать, что из всех четырехугольников,описанных вокруг круга радиуса R, наименьшую площадь имеет квадрат.
Ну, нашёл я формулу в интернете для площади описанного четырехугольника [math]S=\sqrt{abcd}\sin\theta[/math]. Беру производные по каждому из пяти переменных, но критических точек типа квадрата (a=b=c=d) не вижу вообще. Как же быть? Может, с какой-то другой формулой лучше будет, пусть и условный экстремум (скажем, с условием a+b-c-d=0) с множителями Лагранжа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 11:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3844
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
569 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А эта задача непростая. Вообще этот сборник рассчитан на студентов матфака. Но взялся за гуж ...

Тут важно правильно пространство параметров задачи. Рассмотрим точки касания круга (для простоты единичного радиуса) и четырёхугольника. В качестве параметров можно взять их углы в полярных координатах.
Я бы вообще (ввиду своей лености) такую задачу не стал бы решать. Можно решить задачу попроще. И вместо произвольных четырёхугольников ограничиться только ромбами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 19:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
А эта задача непростая. Вообще этот сборник рассчитан на студентов матфака. Но взялся за гуж ...

Тут важно правильно пространство параметров задачи. Рассмотрим точки касания круга (для простоты единичного радиуса) и четырёхугольника. В качестве параметров можно взять их углы в полярных координатах.
Я бы вообще (ввиду своей лености) такую задачу не стал бы решать. Можно решить задачу попроще. И вместо произвольных четырёхугольников ограничиться только ромбами.

В том-то и дело, что теорию я всю прочёл и разобрался, и в принципе должен уметь эту задачу решить. Но не получается. Не понимаю также, какое в вашем предложении получится равенство для площади.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 19:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1823
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
957 раз в 753 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681
А Вы использовали какое нибудь ограничение для [math]a,b,c,d, \theta[/math] ,исходя из того что четырехугольник описан около окружности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 19:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma писал(а):
anpe0681
А Вы использовали какое нибудь ограничение для [math]a,b,c,d, \theta[/math] ,исходя из того что четырехугольник описан около окружности?


Единственное ограничение, которое я тут вижу, это [math]a+b-c-d=0[/math] Но не уверен, что если его использовать, выйдет что-то дельное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшая площадь описанного четырехугольника
СообщениеДобавлено: 19 окт 2017, 00:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача решена. Использовал формулу площади [math]S=\frac{a+b+c+d}{2}r=r^2\left(\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\beta}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\gamma}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\delta}{2}\right)[/math], где [math]a,b,c,d[/math] - стороны четырехугольника, [math]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/math] - углы четырехугольника, [math]r[/math] - радиус окружности. Тогда уравнение связи - [math]\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\pi[/math]. И, используя метод множителей Лагранжа, легко получаем ответ: [math]\alpha=\beta=\gamma=\delta[/math] и [math]a=b=c=d[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь описанного четырёхугольника

в форуме Геометрия

GeorgeB

1

109

17 мар 2017, 00:38

Какова наименьшая возможная площадь треугольника?

в форуме Геометрия

spins06

3

344

30 июн 2015, 04:03

Найдите площадь круга, описанного около шестиугольника

в форуме Геометрия

magahalk

3

987

21 май 2013, 10:07

Площадь четырёхугольника

в форуме Геометрия

bitsjule

3

382

12 окт 2014, 19:58

Площадь четырёхугольника

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

bitsjule

0

201

12 окт 2014, 19:50

Площадь четырехугольника

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

6

612

23 мар 2014, 18:42

Задача на площадь четырехугольника

в форуме Геометрия

Scofield

1

258

19 дек 2014, 14:58

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность

в форуме Геометрия

Resaf91

0

374

27 окт 2013, 11:51

Площадь четырехугольника по углам и двум сторонам

в форуме Геометрия

Extraneous

4

171

14 июн 2017, 12:38

Найти сторону трапеции и площадь четырехугольника

в форуме Геометрия

Gudleifr

1

130

30 окт 2016, 17:14


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved