Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
anpe0681 |
|
|
Определить размеры прямоугольного параллелепипеда [math]\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1[/math], при которых параллелепипед имеет наибольшую полную поверхность. Задача помещена в разделе об экстремумах функций нескольких переменных, поэтому, очевидно, надо использовать метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции [math]f=8(xy+yz+zx)[/math] при условии [math]\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1[/math].Восьмерку, очевидно, можно заменить двойкой. Однако при попытке найти критические точки я сталкиваюсь с системой, которую не могу разрешить: [math]\left\{\!\begin{aligned} &y+z=-\lambda \frac{x}{a^2}\\ &x+z=-\lambda \frac{y}{b^2}\\ &x+y=-\lambda \frac{z}{c^2}\\ &\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1 \end{aligned}\right.[/math] Тогда я заменяю переменные [math]\frac{x}{a}=x',\frac{y}{b}=y',\frac{z}{c}=z'[/math]. В этом случае надо найти максимум функции [math]8abc\left(\frac{x'y'}{c}+\frac{x'z'}{b}+\frac{y'z'}{a}\right)[/math] на сфере [math]x'^2 + y'^2 +z'^2 =1[/math]. Множитель [math]8abc[/math], очевидно, можно отбросить. Для определения критических точек получаю систему: [math]\left\{\!\begin{aligned} &\frac{y'}{c}+\frac{z'}{b}=-2\lambda x'\\ &\frac{x'}{c}+\frac{z'}{a}=-2\lambda y'\\ &\frac{x'}{b}+\frac{y'}{a}=-2\lambda z'\\ &x'^2+y'^2+z'^2=1 \end{aligned}\right.[/math] И опять-таки я не понимаю, как её решать. Помогите, пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Сложите первые три уравнения вашей первой системы. Сократите на [math]x+y+z[/math]. Далее легко найдёте [math]\lambda[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
anpe0681, для нахождения x,y,z формулы получаются необозримые.
Для лямбда можно еще поместить на экран. Для численных значений a,b,c система решается, то также выражение очень длинное. См.картинку. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали: anpe0681 |
||
anpe0681 |
|
|
У меня с помощью Maple тоже получились необозримые, не помню для которой системы, [math]\lambda[/math] получилась как корень нетривиального уравнения третьей степени, x,y,z — ещё более жуткие. В ответе размеры параллелепипеда указаны как [math]\frac{ 2a }{ 3 },\frac{ 2b }{ 3 },\frac{ 2c }{ 3 }[/math], то есть, как я понял [math]x=\frac{a }{ 3 },y=\frac{ b }{ 3 },z=\frac{ c }{ 3 }[/math]. Но ведь это решение не удовлетворяет уравнению эллипсоида. Видимо, это — неправильная задача.
|
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Вот какой параллелепипед получается для эллипсоида, изображенного на картинке.
Результат неожиданный, интуитивно казалось - должен быть другим-по-выше. |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
anpe0681 писал(а): У меня с помощью Maple тоже получились необозримые, не помню для которой системы, [math]\lambda[/math] получилась как корень нетривиального уравнения третьей степени, x,y,z — ещё более жуткие. В ответе размеры параллелепипеда указаны как [math]\frac{ 2a }{ 3 },\frac{ 2b }{ 3 },\frac{ 2c }{ 3 }[/math], то есть, как я понял [math]x=\frac{a }{ 3 },y=\frac{ b }{ 3 },z=\frac{ c }{ 3 }[/math]. Но ведь это решение не удовлетворяет уравнению эллипсоида. Видимо, это — неправильная задача. Я также полагаю, что задача (система) так просто вручную не решается. |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
anpe0681, если есть желание, для эллипсоида, указанного на моей картинке подсчитайте полную поверхность параллелепипеда, взятого случайно (на глаз) и визуально немного , скажем короче (но выше), найденного по Лагранжу.
Я затем сравню ее с вычисленной для параллелепипеда, изображенного на картинке. |
||
Вернуться к началу | ||
anpe0681 |
|
|
vvvv писал(а): anpe0681, если есть желание, для эллипсоида, указанного на моей картинке подсчитайте полную поверхность параллелепипеда, взятого случайно (на глаз) и визуально немного , скажем короче (но выше), найденного по Лагранжу. Я затем сравню ее с вычисленной для параллелепипеда, изображенного на картинке. Извините, нет времени, я в день стараюсь хотя бы по одной задаче решить, а с этими неправильными пчёлами вожусь уже второй день. Перешёл к следующей, её тоже решить не могу, сейчас опять помощи просить буду |
||
Вернуться к началу | ||
anpe0681 |
|
|
Ну, все, вопрос по второй задаче задал, теперь можно об этой опять подумать. А какие размеры у эллипсоида на картинке? И какая высота параллелепипеда на картинке, чтоб мне взять повыше?
|
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
anpe0681 писал(а): Ну, все, вопрос по второй задаче задал, теперь можно об этой опять подумать. А какие размеры у эллипсоида на картинке? И какая высота параллелепипеда на картинке, чтоб мне взять повыше? Так на картинке приведено уравнение эллипсоида. Высота параллелепипеда равна 0.3 |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вписать параллелепипед в эллипсоид
в форуме Дифференциальное исчисление |
7 |
1824 |
14 апр 2014, 16:39 |
|
Параллелепипед вписанный в эллипсоид | 0 |
459 |
14 окт 2014, 20:54 |
|
Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема | 9 |
2354 |
11 дек 2016, 16:29 |
|
Эллипсоид | 7 |
332 |
13 май 2017, 17:34 |
|
Параметрическое уравнение эллипсоид | 0 |
1617 |
28 май 2014, 19:27 |
|
Переход эллипсоид/сфероцилиндр | 1 |
263 |
03 мар 2016, 16:10 |
|
Формула перехода из кубоида в эллипсоид
в форуме Геометрия |
4 |
300 |
17 июл 2018, 23:02 |
|
Найти объём тела, огр. поверхностями: цилиндр, эллипсоид
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
774 |
24 окт 2014, 21:05 |
|
Параллелепипед
в форуме Геометрия |
0 |
223 |
16 ноя 2015, 23:15 |
|
Параллелепипед
в форуме Геометрия |
1 |
415 |
16 ноя 2015, 22:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |