Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 01:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача номер 314 на странице 368 в задачнике Виноградовой, Олехника, Садовничего "Задачи и упражнения по математическому анализу".
Определить размеры прямоугольного параллелепипеда [math]\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1[/math], при которых параллелепипед имеет наибольшую полную поверхность.

Задача помещена в разделе об экстремумах функций нескольких переменных, поэтому, очевидно, надо использовать метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции [math]f=8(xy+yz+zx)[/math] при условии [math]\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1[/math].Восьмерку, очевидно, можно заменить двойкой. Однако при попытке найти критические точки я сталкиваюсь с системой, которую не могу разрешить:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
&y+z=-\lambda \frac{x}{a^2}\\
&x+z=-\lambda \frac{y}{b^2}\\
&x+y=-\lambda \frac{z}{c^2}\\
&\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 }+\frac{ z^2 }{ c^2 }=1
\end{aligned}\right.[/math]


Тогда я заменяю переменные [math]\frac{x}{a}=x',\frac{y}{b}=y',\frac{z}{c}=z'[/math]. В этом случае надо найти максимум функции [math]8abc\left(\frac{x'y'}{c}+\frac{x'z'}{b}+\frac{y'z'}{a}\right)[/math] на сфере [math]x'^2 + y'^2 +z'^2 =1[/math]. Множитель [math]8abc[/math], очевидно, можно отбросить. Для определения критических точек получаю систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
&\frac{y'}{c}+\frac{z'}{b}=-2\lambda x'\\
&\frac{x'}{c}+\frac{z'}{a}=-2\lambda y'\\
&\frac{x'}{b}+\frac{y'}{a}=-2\lambda z'\\
&x'^2+y'^2+z'^2=1
\end{aligned}\right.[/math]


И опять-таки я не понимаю, как её решать. Помогите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 11:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2214
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
330 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сложите первые три уравнения вашей первой системы. Сократите на [math]x+y+z[/math]. Далее легко найдёте [math]\lambda[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681, для нахождения x,y,z формулы получаются необозримые.
Для лямбда можно еще поместить на экран.
Для численных значений a,b,c система решается, то также выражение очень длинное.
См.картинку.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
anpe0681
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня с помощью Maple тоже получились необозримые, не помню для которой системы, [math]\lambda[/math] получилась как корень нетривиального уравнения третьей степени, x,y,z — ещё более жуткие. В ответе размеры параллелепипеда указаны как [math]\frac{ 2a }{ 3 },\frac{ 2b }{ 3 },\frac{ 2c }{ 3 }[/math], то есть, как я понял [math]x=\frac{a }{ 3 },y=\frac{ b }{ 3 },z=\frac{ c }{ 3 }[/math]. Но ведь это решение не удовлетворяет уравнению эллипсоида. Видимо, это — неправильная задача.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот какой параллелепипед получается для эллипсоида, изображенного на картинке.
Результат неожиданный, интуитивно казалось - должен быть другим-по-выше.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681 писал(а):
У меня с помощью Maple тоже получились необозримые, не помню для которой системы, [math]\lambda[/math] получилась как корень нетривиального уравнения третьей степени, x,y,z — ещё более жуткие. В ответе размеры параллелепипеда указаны как [math]\frac{ 2a }{ 3 },\frac{ 2b }{ 3 },\frac{ 2c }{ 3 }[/math], то есть, как я понял [math]x=\frac{a }{ 3 },y=\frac{ b }{ 3 },z=\frac{ c }{ 3 }[/math]. Но ведь это решение не удовлетворяет уравнению эллипсоида. Видимо, это — неправильная задача.

Я также полагаю, что задача (система) так просто вручную не решается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681, если есть желание, для эллипсоида, указанного на моей картинке подсчитайте полную поверхность параллелепипеда, взятого случайно (на глаз) и визуально немного , скажем короче (но выше), найденного по Лагранжу.
Я затем сравню ее с вычисленной для параллелепипеда, изображенного на картинке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 00:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
anpe0681, если есть желание, для эллипсоида, указанного на моей картинке подсчитайте полную поверхность параллелепипеда, взятого случайно (на глаз) и визуально немного , скажем короче (но выше), найденного по Лагранжу.
Я затем сравню ее с вычисленной для параллелепипеда, изображенного на картинке.


Извините, нет времени, я в день стараюсь хотя бы по одной задаче решить, а с этими неправильными пчёлами вожусь уже второй день. Перешёл к следующей, её тоже решить не могу, сейчас опять помощи просить буду :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 01:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 02:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, все, вопрос по второй задаче задал, теперь можно об этой опять подумать. А какие размеры у эллипсоида на картинке? И какая высота параллелепипеда на картинке, чтоб мне взять повыше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 18:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2609
Cпасибо сказано: 167
Спасибо получено:
833 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 252

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anpe0681 писал(а):
Ну, все, вопрос по второй задаче задал, теперь можно об этой опять подумать. А какие размеры у эллипсоида на картинке? И какая высота параллелепипеда на картинке, чтоб мне взять повыше?

Так на картинке приведено уравнение эллипсоида.
Высота параллелепипеда равна 0.3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписать параллелепипед в эллипсоид

в форуме Дифференциальное исчисление

AlterEgo

7

668

14 апр 2014, 17:39

Параллелепипед вписанный в эллипсоид

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nasha

0

164

14 окт 2014, 21:54

В шар радиуса R=4 вписать цилиндр с наибольшей боковой

в форуме Дифференциальное исчисление

V007

1

647

09 апр 2013, 07:30

Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Bunny987

7

257

11 дек 2016, 17:29

Эллипсоид

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nuta_shi

7

134

13 май 2017, 18:34

Параметрическое уравнение эллипсоид

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Elnurgoo

0

665

28 май 2014, 20:27

Переход эллипсоид/сфероцилиндр

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Yulia_Sh

1

110

03 мар 2016, 17:10

Найти объём тела, огр. поверхностями: цилиндр, эллипсоид

в форуме Интегральное исчисление

JSmith

11

317

24 окт 2014, 22:05

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Abyss

1

157

31 янв 2012, 13:29

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

1

167

16 ноя 2015, 23:33


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved