Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 00:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 20:37
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как продолжить решение. Нужно найти экстремумы функции z=x+y+4[math]\cdot \sin{x}\sin{y}[/math]. При нахождении производных получил систему.
4[math]\cdot \sin{y}\cos{x}[/math]=- 1
4[math]\cdot \sin{x}\cos{y}[/math]=- 1
Решая систему, получил tgx[math]\cdot[/math]ctgy =1 и x=y. После получил корни -[math]\pi[/math]/12 и 7[math]\pi[/math]/12. Но должны быть еще корни. Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 10:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9999
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Локальныt минимумы будут при [math]\left (-\frac{7\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right )[/math] и [math]\left (\frac{5\pi}{12},-\frac{7\pi}{12} \right )[/math] (они одинаковые)

Локальные максимумы при: [math]\left (-\frac{5\pi}{12}, - \frac{5\pi}{12} \right )[/math] и [math]\left (\frac{7\pi}{12}, \frac{7\pi}{12} \right )[/math]

Доказательство:

Изображение


Последний раз редактировалось Avgust 26 сен 2017, 10:51, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 10:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1421
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
521 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik писал(а):
При нахождении производных получил систему.
4[math]\cdot \sin{y}\cos{x}[/math]=- 1
4[math]\cdot \sin{x}\cos{y}[/math]=- 1
Решая систему, получил tgx[math]\cdot[/math]ctgy =1 и x=y. После получил корни -[math]\pi[/math]/12 и 7[math]\pi[/math]/12. Но должны быть еще корни. Заранее спасибо.

В общем случае получаются серии корней:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=-\frac{ \pi }{ 12 }+ \pi (2n+m) \\
& y=-\frac{ \pi }{ 12 }+ \pi (2n-m)
\end{aligned}\right.[/math]

и
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=\frac{ 7 \pi }{ 12 }+ \pi (2n+m) \\
& y=\frac{ 7 \pi }{ 12 }+ \pi (2n-m)
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 12:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 20:37
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Спасибо за ответ. А как получились корни [math]\pm[/math]5[math]\pi[/math]/12?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 14:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1421
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
521 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Забыл разделить вторые слагаемые на два
В общем случае получаются серии корней:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=-\frac{ \pi }{ 12 }+ \frac{\pi (2n+m)}{2} \\
& y=-\frac{ \pi }{ 12 }+ \frac{\pi (2n-m)}{2}
\end{aligned}\right.[/math]

и
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=\frac{ 7 \pi }{ 12 }+ \frac{\pi (2n+m)}{2} \\
& y=\frac{ 7 \pi }{ 12 }+ \frac{\pi (2n-m)}{2}
\end{aligned}\right.[/math]
,
которые и дают указанные корни

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 15:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9999
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik

Ваша система имеет 8 пар решений (опускаю множитель [math]\frac{\pi}{12}[/math] ):

(5,-7)
(-5,-5)
(1, -11)
(-1,-1)
(7,7)
(-7,5)
(11,11)
(-11,1)

Из них только 4 дают экстремальные точки (выделил жирным шрифтом).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 16:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1421
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
521 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, система имеет бесконечное количество пар решений для [math](x;y)[/math]!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 16:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9999
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Я говорю только о главных решениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 16:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1421
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
521 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, если речь идет о периодических решениях, то их надо указывать, например, когда в школе решают элементарное тригонометрическое решение, то ответ выписывают в виде серии, если не оговорены промежутки

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 18:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9999
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Да, это обязательно. Это уже проблема ТС, и она совсем простая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

cincinat

2

107

23 фев 2017, 11:57

Найти локальный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Bilbo2015

4

121

11 сен 2016, 10:37

Найти экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Irri

1

115

05 май 2014, 19:15

найти экстремум функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

zay

0

117

09 янв 2012, 11:59

найти экстремум функций

в форуме Дифференциальное исчисление

zay

1

92

09 янв 2012, 12:12

Найти экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

7

206

30 май 2013, 21:45

Найти условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

2

84

01 май 2017, 17:42

Найти условный экстремум

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

rfgbnfkbyf

5

181

28 фев 2016, 04:37

Найти экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

bashmack

2

201

25 дек 2011, 13:09

Найти экстремум функции z=f(x,y)

в форуме Дифференциальное исчисление

poper

5

244

09 дек 2011, 01:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved