Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Maik |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
[math]y=\frac{x^2}{2}[/math] - это не касательная.
|
||
Вернуться к началу | ||
Maik |
|
|
Andy
Извините за неточность. Имеется в виду по направлению касательной к функции y=[math]\frac{ x^{2} }{ 2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Maik
Тогда сначала выведите уравнение этой касательной. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Maik |
||
Maik |
|
|
Andy
Получилось y=x-1/2. скажите,пожалуйста,что делать дальше. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Maik
Теперь нужно вычислить координаты направляющего вектора этой прямой и его направляющие косинусы. |
||
Вернуться к началу | ||
Kirill1986 |
|
|
Maik, направление касательной на плоскости [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] задается величиной производной функции в точке касания. Производная функции [math]\boldsymbol{y} =\frac{ x^{2} }{ 2 }[/math] равна [math]\frac{d y}{d x} =x[/math]. По геометрическому смыслу производной она есть тангенс
угла наклона касательной [math]\alpha[/math] , которая (касательная) в данном случае является прямой, вдоль которой ищется производная. В точке [math]\boldsymbol{P} \left( 1, \frac{ 1 }{ 2 } \right)[/math] имеем [math]\operatorname{tg}{ \boldsymbol{\alpha} }=\left.{ \frac{d y}{d x} }\right|_{ x=1}=1[/math]. По тангенсу можно восстановить синус и косинус угла [math]\alpha[/math]. Можно было бы пописать тригонометрические тождества, записав синус и косинус через тангенс (правда, там с выбором окончательного знака надо проявлять аккуратность и учитывать, в какой - первой или второй - четверти лежит угол [math]\alpha[/math]). Здесь угол лежит в первой четверти и тангенс равен единице (табличному значению). Поэтому есть удобная возможность не заморачиваться с тригонометрическими тождествами, а сразу записать ответ: [math]\sin{ \alpha }=\cos{ \alpha }=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math]. Производная по направлению [math]\boldsymbol{l}[/math] в соответствии с доказываемой в курсах анализа теоремой равна [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \sin{ \alpha }[/math]. Находим частные производные: [math]\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{ 1 }{ x+2y }=\frac{ 1 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{ 2 }{ x+2y }=\frac{ 2 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=1[/math]. Ответ после всех подстановок: [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{ 3 }{ 2 \cdot \sqrt{2} }[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали: Maik |
||
Kirill1986 |
|
|
Только, конечно, вместо [math]\left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math] следовало написать [math]\cos\left({\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math]...
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали: Maik |
||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |