Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 18:14 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 19:37
Сообщений: 114
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решить задачу. Нужно найти производную функции z=ln(x+2y) в точке P(1;1/2) по направлению касательной y=[math]\frac{ x^{2} }{ 2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 18:53 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y=\frac{x^2}{2}[/math] - это не касательная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 19:09 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 19:37
Сообщений: 114
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Извините за неточность. Имеется в виду по направлению касательной к функции y=[math]\frac{ x^{2} }{ 2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 19:13 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik
Тогда сначала выведите уравнение этой касательной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 13:06 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 19:37
Сообщений: 114
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Получилось y=x-1/2. скажите,пожалуйста,что делать дальше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 13:45 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik
Теперь нужно вычислить координаты направляющего вектора этой прямой и его направляющие косинусы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 07:00 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik, направление касательной на плоскости [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] задается величиной производной функции в точке касания. Производная функции [math]\boldsymbol{y} =\frac{ x^{2} }{ 2 }[/math] равна [math]\frac{d y}{d x} =x[/math]. По геометрическому смыслу производной она есть тангенс
угла наклона касательной [math]\alpha[/math] , которая (касательная) в данном случае является прямой, вдоль которой ищется производная. В точке [math]\boldsymbol{P} \left( 1, \frac{ 1 }{ 2 } \right)[/math] имеем [math]\operatorname{tg}{ \boldsymbol{\alpha} }=\left.{ \frac{d y}{d x} }\right|_{ x=1}=1[/math]. По тангенсу можно восстановить синус и косинус угла [math]\alpha[/math]. Можно было бы пописать тригонометрические тождества, записав синус и косинус через тангенс (правда, там с выбором окончательного знака надо проявлять аккуратность и учитывать, в какой - первой или второй - четверти лежит угол [math]\alpha[/math]). Здесь угол лежит в первой четверти и тангенс равен единице (табличному значению). Поэтому есть удобная возможность не заморачиваться с тригонометрическими тождествами, а сразу записать ответ: [math]\sin{ \alpha }=\cos{ \alpha }=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math]. Производная по направлению [math]\boldsymbol{l}[/math] в соответствии с доказываемой в курсах анализа теоремой равна [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \sin{ \alpha }[/math]. Находим частные производные: [math]\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{ 1 }{ x+2y }=\frac{ 1 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{ 2 }{ x+2y }=\frac{ 2 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=1[/math]. Ответ после всех подстановок: [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{ 3 }{ 2 \cdot \sqrt{2} }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 14:38 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Только, конечно, вместо [math]\left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math] следовало написать [math]\cos\left({\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math]...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Maik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти градиент и производную по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

parenyuk

6

358

28 июн 2018, 11:07

Найти grad и производную по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

Riarepro

2

365

11 янв 2022, 14:31

Найти производную в точке а по направлению вектора а

в форуме Векторный анализ и Теория поля

AnnP

0

558

09 ноя 2015, 21:43

Найти производную скалярного поля по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Indie_Cube

3

1831

25 июн 2014, 16:13

Найти градиент и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

farell

2

570

22 июн 2017, 18:00

Найти градиент и производную в точке по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

SamJa

1

538

01 янв 2018, 13:42

Добить производную по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

brom

6

579

17 май 2017, 19:26

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

Chavak

3

1124

16 апр 2014, 20:57

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

2

362

25 мар 2015, 22:16

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

2

166

06 мар 2020, 12:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved