Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 19:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 20:37
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решить задачу. Нужно найти производную функции z=ln(x+2y) в точке P(1;1/2) по направлению касательной y=[math]\frac{ x^{2} }{ 2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 19:53 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14730
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 893
Спасибо получено:
3242 раз в 2995 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y=\frac{x^2}{2}[/math] - это не касательная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 20:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 20:37
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Извините за неточность. Имеется в виду по направлению касательной к функции y=[math]\frac{ x^{2} }{ 2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 20:13 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14730
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 893
Спасибо получено:
3242 раз в 2995 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik
Тогда сначала выведите уравнение этой касательной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 14:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 20:37
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Получилось y=x-1/2. скажите,пожалуйста,что делать дальше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 14:45 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14730
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 893
Спасибо получено:
3242 раз в 2995 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik
Теперь нужно вычислить координаты направляющего вектора этой прямой и его направляющие косинусы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 08:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Maik, направление касательной на плоскости [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] задается величиной производной функции в точке касания. Производная функции [math]\boldsymbol{y} =\frac{ x^{2} }{ 2 }[/math] равна [math]\frac{d y}{d x} =x[/math]. По геометрическому смыслу производной она есть тангенс
угла наклона касательной [math]\alpha[/math] , которая (касательная) в данном случае является прямой, вдоль которой ищется производная. В точке [math]\boldsymbol{P} \left( 1, \frac{ 1 }{ 2 } \right)[/math] имеем [math]\operatorname{tg}{ \boldsymbol{\alpha} }=\left.{ \frac{d y}{d x} }\right|_{ x=1}=1[/math]. По тангенсу можно восстановить синус и косинус угла [math]\alpha[/math]. Можно было бы пописать тригонометрические тождества, записав синус и косинус через тангенс (правда, там с выбором окончательного знака надо проявлять аккуратность и учитывать, в какой - первой или второй - четверти лежит угол [math]\alpha[/math]). Здесь угол лежит в первой четверти и тангенс равен единице (табличному значению). Поэтому есть удобная возможность не заморачиваться с тригонометрическими тождествами, а сразу записать ответ: [math]\sin{ \alpha }=\cos{ \alpha }=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math]. Производная по направлению [math]\boldsymbol{l}[/math] в соответствии с доказываемой в курсах анализа теоремой равна [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos{ \alpha }+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \sin{ \alpha }[/math]. Находим частные производные: [math]\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{ 1 }{ x+2y }=\frac{ 1 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{ 2 }{ x+2y }=\frac{ 2 }{ 1+2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } }=1[/math]. Ответ после всех подстановок: [math]\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{ 3 }{ 2 \cdot \sqrt{2} }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Maik
 Заголовок сообщения: Re: Найти производную по направлению
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 15:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Только, конечно, вместо [math]\left( \cos{\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math] следовало написать [math]\cos\left({\frac{ \pi }{ 2 }- \alpha } \right)[/math]...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Maik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти градиент и производную по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

makc59

3

769

07 фев 2014, 16:06

Найти производную в точке а по направлению вектора а

в форуме Векторный анализ и Теория поля

AnnP

0

304

09 ноя 2015, 22:43

Найти производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Dragan23

12

2000

11 дек 2011, 22:07

Найти производную скалярного поля по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Indie_Cube

3

1090

25 июн 2014, 17:13

Найти производную скалярного поля по направлению вектора l

в форуме Векторный анализ и Теория поля

777

5

991

04 май 2012, 00:12

Найти производную функцию в точке по направлению вектора S

в форуме Дифференциальное исчисление

EEEVVVA

2

2046

01 апр 2012, 08:51

Найти градиен и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

S1vka

1

749

29 ноя 2013, 00:26

Найти производную функции в точки по направлению градиента

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marko

5

736

01 окт 2013, 22:40

Найти градиент и производную в точке по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

margo 83

9

9477

30 окт 2011, 18:52

Найти градиент и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

farell

2

144

22 июн 2017, 19:00


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved