Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Про частные и полные производные
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=54790
Страница 1 из 1

Автор:  Yurij-97 [ 01 июн 2017, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Про частные и полные производные

Можно ли менять местами взятие частной и полной производной (берутся одновременно от одной функции)?:
[math]\frac{ \partial }{ \partial \mathsf{q} }[/math][math]\left( \frac{d y}{d x} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{d }{d x}\left( \frac{\partial y}{\partial \mathsf{q} } \right)[/math]?

Автор:  Space [ 02 июн 2017, 10:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Про частные и полные производные

От функции[math]y[/math] зависит. В общем случае нет. Однако достаточно, чтобы вторые смешанные производные не зависели от порядка дифференцирования. Это выполняется, когда они непрерывны, что часто бывает на практике.
Немного подробнее. Пусть [math]y=y(q_{1},..,q_{n},x)[/math], тогда
[math]\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left( \frac{d y}{d x} \right) = \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial y}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d x} + \frac{\partial y}{\partial x} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial y}{\partial q_{i} \partial q_{1}}\frac{d q_{i}}{d x} + \frac{\partial y}{\partial x \partial q_{1}}[/math]
С другой стороны
[math]\frac{d}{d x} \left( \frac{\partial y}{\partial q_{1}} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial y}{\partial q_{1} \partial q_{i}}\frac{d q_{i}}{d x} + \frac{\partial y}{\partial q_{1} \partial x}[/math], то есть то же самое выражение с точностью до порядка дифференцирования.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/