Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
boode |
|
|
#3652 в Демидовиче. x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0 |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Не уверен, что правильно, но так сделал. Взял производные по z, y, x и приравнял нулю. Получилась система:
[math]2z+2-x-y=0[/math] [math]2y+2-z=0[/math] [math]2x+2-z=0[/math] Решение: [math]x=-3\, ; \quad y=-3\, ; \quad y=-4[/math] При таких значениях выражение ТС принимает значение [math](-12)[/math] Это - глобальный минимум. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Avgust писал(а): Не уверен, что правильно, но так сделал. Взял производные по z, y, x и приравнял нулю. Я то же в этом не уверен. Поэтому предлагаю топикстартеру попробовать решать через множители Лагранжа, рассматривая задачу [math]z\to \operatorname{extr}[/math], при условии, записанном в первом посту. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Видимо верно так: нужно выразить Z и будем иметь поверхность эллипсоида (плюс перед корнем - верхняя часть, минус - нижняя часть). Проще мне сделать в виде рисунка:
|
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
Для чего нужно считать производную по z ? Достаточно выразить частные производные по x и y, приравнять их нулю одновременно, таким образом найдутся критические точки. Затем в каждой из них нужно посчитать второй дифференциал функции z, далее следует смотреть на знак квадратичной формы. В зависимости от него установим экстремумы.
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
anonim228
Меня больше волнует, правильно ли решена задача. А методов много может быть. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Avgust писал(а): правильно ли решена задача Неправильно - это про 1 попытку. Вы находили экстремум функции [math]u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2[/math], а надо было найти экстремумы функции [math]z(x,y)[/math], заданной неявно уравнением [math]u(x,y,z)=0[/math]. Естественно Вы нашли одну точку, так как квадратичная форма(первые пять слагаемых) положительно определена. А у функции [math]z[/math] будет две точки экстремума - геометрически это очевидно, поскольку поверхность [math]u(x,y,z)=0[/math] является эллипсоидом. Явно выражать можно, но громоздко - не проверял. Можно искать с помощью множителей Лагранжа, но лучше по-простому, как обычно, только дифференцировать будем неявно. А обычно для нахождения точек экстремума надо приравнять к нулю [math]z'_x[/math] и [math]z'_y[/math], необычно лишь неявное задание функции. А в чём промблема? . Дифференцируем тождество [math]u(x,y,z)=0[/math] по иксу: [math]\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0 \,\& \,\frac{\partial z}{\partial x}=0\,\Rightarrow\, \frac{\partial u}{\partial x}=0[/math] Выглядит это так, как будто мы просто приравняли к нулю частную производную функции [math]u[/math] по иксу. Аналогично имеем [math]\frac{\partial u}{\partial y}=0[/math], то есть второе и третье уравнения получились те же, что и у Вас. А вот вместо первого должно быть само тождество [math]u(x,y,z)=0[/math]. Итого имеем [math]z=2x+2=2y+2[/math] и [math]u(x,y,z)=0[/math] отсюда опять ясно видно, что получится две точки, ибо при загрузке [math]z=2x+2, y=x[/math] в тождество [math]u(x,y,z)=0[/math] получится квадратное уравнение относительно икса. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Avgust |
||
boode |
|
|
Ответ из сборника Демидовича:
z_min = [math]-(4+2\sqrt{6}[/math]) при [math]x=y=-(3+\sqrt{6}[/math]) z_max = [math](2\sqrt{6}-4[/math]) при [math]x=y=-(3-\sqrt{6}[/math]) |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Судя по ответу, сразу можно было использовать симметрию для переменных х и у, т.е. сразу положить х=у и работать уже с функцией двух переменных
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Получается, что я верно решил. Но с четким пониманием, что за поверхность, как ориентирована в пространстве (в Мапл график можно поворачивать как угодно), какие приблизительные координаты экстремальных точек. Аналитика показала, что противоречий с графиком нет.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |