Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 24 май 2017, 15:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 мар 2017, 17:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти экстремальные значения заданной неявно функции z от переменных x и y.
#3652 в Демидовиче.

x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 24 май 2017, 21:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10177
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не уверен, что правильно, но так сделал. Взял производные по z, y, x и приравнял нулю. Получилась система:

[math]2z+2-x-y=0[/math]

[math]2y+2-z=0[/math]

[math]2x+2-z=0[/math]

Решение: [math]x=-3\, ; \quad y=-3\, ; \quad y=-4[/math]

При таких значениях выражение ТС принимает значение [math](-12)[/math]
Это - глобальный минимум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 24 май 2017, 21:39 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Не уверен, что правильно, но так сделал. Взял производные по z, y, x и приравнял нулю.

Я то же в этом не уверен. Поэтому предлагаю топикстартеру попробовать решать через множители Лагранжа, рассматривая задачу [math]z\to \operatorname{extr}[/math], при условии, записанном в первом посту.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 24 май 2017, 22:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10177
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо верно так: нужно выразить Z и будем иметь поверхность эллипсоида (плюс перед корнем - верхняя часть, минус - нижняя часть). Проще мне сделать в виде рисунка:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 24 май 2017, 22:35 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 16:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для чего нужно считать производную по z ? Достаточно выразить частные производные по x и y, приравнять их нулю одновременно, таким образом найдутся критические точки. Затем в каждой из них нужно посчитать второй дифференциал функции z, далее следует смотреть на знак квадратичной формы. В зависимости от него установим экстремумы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 01:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10177
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228
Меня больше волнует, правильно ли решена задача. А методов много может быть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 10:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2055
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
правильно ли решена задача

Неправильно - это про 1 попытку. Вы находили экстремум функции [math]u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2[/math], а надо было найти экстремумы функции [math]z(x,y)[/math], заданной неявно уравнением [math]u(x,y,z)=0[/math]. Естественно Вы нашли одну точку, так как квадратичная форма(первые пять слагаемых) положительно определена. А у функции [math]z[/math] будет две точки экстремума - геометрически это очевидно, поскольку поверхность [math]u(x,y,z)=0[/math] является эллипсоидом. Явно выражать можно, но громоздко - не проверял.
Можно искать с помощью множителей Лагранжа, но лучше по-простому, как обычно, только дифференцировать будем неявно.

А обычно для нахождения точек экстремума надо приравнять к нулю [math]z'_x[/math] и [math]z'_y[/math], необычно лишь неявное задание функции. А в чём промблема? .
Дифференцируем тождество [math]u(x,y,z)=0[/math] по иксу:

[math]\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0 \,\& \,\frac{\partial z}{\partial x}=0\,\Rightarrow\, \frac{\partial u}{\partial x}=0[/math] Выглядит это так, как будто мы просто приравняли к нулю частную производную функции [math]u[/math] по иксу.
Аналогично имеем [math]\frac{\partial u}{\partial y}=0[/math], то есть второе и третье уравнения получились те же, что и у Вас. А вот вместо первого должно быть само тождество [math]u(x,y,z)=0[/math].
Итого имеем [math]z=2x+2=2y+2[/math] и [math]u(x,y,z)=0[/math] отсюда опять ясно видно, что получится две точки, ибо при загрузке [math]z=2x+2, y=x[/math] в тождество [math]u(x,y,z)=0[/math] получится квадратное уравнение относительно икса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 15:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 мар 2017, 17:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ из сборника Демидовича:

z_min = [math]-(4+2\sqrt{6}[/math]) при [math]x=y=-(3+\sqrt{6}[/math])
z_max = [math](2\sqrt{6}-4[/math]) при [math]x=y=-(3-\sqrt{6}[/math])

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 16:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Судя по ответу, сразу можно было использовать симметрию для переменных х и у, т.е. сразу положить х=у и работать уже с функцией двух переменных

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти экстремум функции нескольких переменных (Демидович)
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 17:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10177
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получается, что я верно решил. Но с четким пониманием, что за поверхность, как ориентирована в пространстве (в Мапл график можно поворачивать как угодно), какие приблизительные координаты экстремальных точек. Аналитика показала, что противоречий с графиком нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экстремум функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

student_math

1

149

06 мар 2015, 15:35

Экстремум функции нескольких переменных в области

в форуме Дифференциальное исчисление

Rostislav

7

355

28 окт 2013, 21:09

Найти предел функции нескольких переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

arrapato

2

299

18 апр 2015, 14:50

найти дифферинциалы функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Nichtswisser

0

174

20 май 2012, 16:03

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Rea1l

0

185

31 мар 2014, 10:15

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

1

408

27 янв 2013, 21:02

Найти экстремум функции двух переменных.

в форуме Дифференциальное исчисление

Monarkhov

5

364

26 май 2013, 12:34

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

number_one

2

343

11 июн 2012, 01:10

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

pacific

2

537

24 май 2013, 15:17

Найти безусловный экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

kiss_of_life

4

745

01 ноя 2012, 15:43


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 351w и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved