Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
brom |
|
|
1.) как найти вторую производную? Поясню: Известно, что для отыскания производной неявной функции справедлива формула [math]-\frac{F_x}{F_y}[/math] Например: [math]x^2 + 2xy-y^2 = a^2[/math] Имеем первую производную: [math]y' = -\frac{x+y}{x-y}[/math] Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу? 2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов, и если да, то каким образом?) |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
brom писал(а): Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу? Вот если бы Вы это высказывание ещё на этом примере показали, было бы более понятно, что Вы имеете ввиду.brom писал(а): 2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов Да, работает, только там будут частные производные.brom писал(а): , и если да, то каким образом?) А вот, что Вы здесь хотели сказать - непонятно. Смотрите в учебниках тему "Дифференцирование (чили частные производные) неявной функции нескольких переменных". |
||
Вернуться к началу | ||
brom |
|
|
_Sasha_ писал(а): brom писал(а): Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу? Вот если бы Вы это высказывание ещё на этом примере показали, было бы более понятно, что Вы имеете ввиду.brom писал(а): 2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов Да, работает, только там будут частные производные.brom писал(а): , и если да, то каким образом?) А вот, что Вы здесь хотели сказать - непонятно. Смотрите в учебниках тему "Дифференцирование (чили частные производные) неявной функции нескольких переменных".Ага. я прилично запутался с непривычки. Получается формула, которую я написал выше справедлива только для неявной функции одной переменной, для многих уже не работает Тогда на самом деле вырисовывается вопрос: как находить производные высших порядков от неявных функуий |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
Вы меня не правильно поняли. Или я очень мудрённо объяснил.
brom писал(а): Ага. я прилично запутался с непривычки. Получается формула, которую я написал выше справедлива только для неявной функции одной переменной, для многих уже не работает Нет, не только. Только для функции нескольких переменных она немного изменится.Например. Если функция [math]z=z\left( x,y \right)[/math] задна неявно в виде [math]F\left( x,y,z \right)=0[/math], то [math]z'_x=-\frac{ F'_x }{ F'_z }[/math] и [math]z'_y=-\frac{ F'_y}{ F'_z }[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
Вот Ваш пример [math]y'=-\frac{ x+y }{ x-y }[/math].
Чтобы найти вторую производную функции [math]y[/math] надо это равенство ещё раз продифференцировать. Получим. [math]y''=-\left( \frac{ x+y }{ x-y } \right)'[/math]. Производную правой части равенства дифференцируем, как обычную функцию, только [math]y[/math] - это функция переменной [math]x[/math], поэтому её производная будет [math]y'[/math]. [math]y''=-\frac{ \left( x+y \right)' \left( x-y \right) -\left( x+y \right) \left( x-y \right) ' }{\left( x-y \right) ^2}=-\frac{ \left( 1+y' \right) \left( x-y \right) -\left( x+y \right) \left( 1-y' \right)}{\left( x-y \right) ^2}[/math]. Дальше, выражение в числителе можно попробовать упростить, если получится что-то. Только совет, производная [math]y'[/math] в окончательном ответе так и остаётся; она не заменяется на её выражение (в нашем случае ([math]y'=-\frac{ x+y }{ x-y }[/math]). Вторая производная неявно заданной функции [math]y=y\left( x \right)[/math] - это её выражение через переменную функции [math]x[/math], саму функцию [math]y[/math] и её первую производную [math]y'[/math]. Аналогично находятся производные более высоких порядков неявно заданной функции [math]y=y\left( x \right)[/math]. Аналогично находятся частные производные высших порядков неявно заданной функции 2 и более переменных. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали: brom |
||
dr Watson |
|
|
Если речь только о вычислении а не о существовании, то никаких формул запоминать не надо - просто дифференцировать тождество сколько угодно раз и помнить, что та буковка, что означает неявную функцию, является функцией и все её производные тоже.
Например, brom, Ваш пример [math]x^2+2xy -y^2=a^3.[/math] Если мы считаем [math]y[/math] функцией, определяемой этим уравнением, то мы можем мыслить эту функцию подставленной в данное уравнение, которое таким образом является тождеством. Дифференцируем это тождество, пользуясь обычными правилами: Дифференцируем раз. [math]2x+2y+2xy'-2yy'=0[/math], откуда после сокращения на двойку и переноса (а почему бы и нет?) имеем [math]x+y=(y-x)y'[/math]. Теперь можно выразить [math]y'[/math] через [math]x[/math] и [math]y[/math]. Это опять тождество (не забываем, что [math]y[/math] функция, только мы её явный вид получить не можем или не желаем получать). Но можно дифференцировать дальше тождество [math]x+y=(y-x)y'[/math], не выражая из него [math]y'[/math] - це ж тождество, имеем право. (Очень даже подходяще для тех, кто не любит дифференцировать дроби. ) Дифференцируем два. [math]1+y'=(y'-1)y'+(y-x)y'\Leftrightarrow 1+2y'=y'^2+(y-x)y''[/math]. Отсюда мы легко выразим [math]y''[/math] через [math]x,y[/math] и [math]y'[/math], которая у нас уже выражена (или может быть выражена, но мы не желаем) через [math]x[/math] и [math]y.[/math] Дифференцируем три. [math]2y''=2y'y''+(y'-1)y''+(y-x)y'''\Leftrightarrow 3y''=3y'y''+(y-x)y'''\ldots[/math] Если точка, в которой требуется сосчитать производные, дана конкретно, то выгоднее не выражать производные через переменные а находить их последовательно в данной точке из полученных выражений на раз, два, три ... Например, в точке [math](a;0)[/math] последовательно получаем [math]y' =-1,y''=\frac 2a, y'''=-\frac{12}{a^2}[/math] PS.Стока понаписАл - неужто ни разу не ошибся? Проверяйте мою арихметику. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: brom |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |