Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 20 апр 2017, 22:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, вопроса два, один практически другой теоретический:

1.) как найти вторую производную?

Поясню:

Известно, что для отыскания производной неявной функции справедлива формула

[math]-\frac{F_x}{F_y}[/math]

Например:

[math]x^2 + 2xy-y^2 = a^2[/math]

Имеем первую производную:

[math]y' = -\frac{x+y}{x-y}[/math]

Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу?

2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов, и если да, то каким образом?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 20 апр 2017, 23:46 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 207
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
53 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
brom писал(а):
Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу?
Вот если бы Вы это высказывание ещё на этом примере показали, было бы более понятно, что Вы имеете ввиду.
brom писал(а):
2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов
Да, работает, только там будут частные производные.
brom писал(а):
, и если да, то каким образом?)
А вот, что Вы здесь хотели сказать - непонятно. Смотрите в учебниках тему "Дифференцирование (чили частные производные) неявной функции нескольких переменных".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 01:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
brom писал(а):
Как теперь найти вторую? Дифференцировать по x и y как частное, а затем применять туже формулу?
Вот если бы Вы это высказывание ещё на этом примере показали, было бы более понятно, что Вы имеете ввиду.
brom писал(а):
2.) Как действовать если дана производная трёх аргументов? (Я имею ввиду работает-ли таже формула для трёх аргументов
Да, работает, только там будут частные производные.
brom писал(а):
, и если да, то каким образом?)
А вот, что Вы здесь хотели сказать - непонятно. Смотрите в учебниках тему "Дифференцирование (чили частные производные) неявной функции нескольких переменных".


Ага. я прилично запутался с непривычки. Получается формула, которую я написал выше справедлива только для неявной функции одной переменной, для многих уже не работает
Тогда на самом деле вырисовывается вопрос: как находить производные высших порядков от неявных функуий

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 02:01 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 207
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
53 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы меня не правильно поняли. Или я очень мудрённо объяснил.
brom писал(а):
Ага. я прилично запутался с непривычки. Получается формула, которую я написал выше справедлива только для неявной функции одной переменной, для многих уже не работает
Нет, не только. Только для функции нескольких переменных она немного изменится.

Например.

Если функция [math]z=z\left( x,y \right)[/math] задна неявно в виде [math]F\left( x,y,z \right)=0[/math], то [math]z'_x=-\frac{ F'_x }{ F'_z }[/math] и [math]z'_y=-\frac{ F'_y}{ F'_z }[/math].

Ждите, ещё напишу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 02:20 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 207
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
53 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот Ваш пример [math]y'=-\frac{ x+y }{ x-y }[/math].

Чтобы найти вторую производную функции [math]y[/math] надо это равенство ещё раз продифференцировать. Получим.

[math]y''=-\left( \frac{ x+y }{ x-y } \right)'[/math].

Производную правой части равенства дифференцируем, как обычную функцию, только [math]y[/math] - это функция переменной [math]x[/math], поэтому её производная будет [math]y'[/math].

[math]y''=-\frac{ \left( x+y \right)' \left( x-y \right) -\left( x+y \right) \left( x-y \right) ' }{\left( x-y \right) ^2}=-\frac{ \left( 1+y' \right) \left( x-y \right) -\left( x+y \right) \left( 1-y' \right)}{\left( x-y \right) ^2}[/math].

Дальше, выражение в числителе можно попробовать упростить, если получится что-то. Только совет, производная [math]y'[/math] в окончательном ответе так и остаётся; она не заменяется на её выражение (в нашем случае ([math]y'=-\frac{ x+y }{ x-y }[/math]). Вторая производная неявно заданной функции [math]y=y\left( x \right)[/math] - это её выражение через переменную функции [math]x[/math], саму функцию [math]y[/math] и её первую производную [math]y'[/math].

Аналогично находятся производные более высоких порядков неявно заданной функции [math]y=y\left( x \right)[/math].

Аналогично находятся частные производные высших порядков неявно заданной функции 2 и более переменных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
brom
 Заголовок сообщения: Re: Два вопроса о производных неявных функций
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 05:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2006
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
659 раз в 518 сообщениях
Очков репутации: 177

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если речь только о вычислении а не о существовании, то никаких формул запоминать не надо - просто дифференцировать тождество сколько угодно раз и помнить, что та буковка, что означает неявную функцию, является функцией и все её производные тоже.
Например, brom, Ваш пример [math]x^2+2xy -y^2=a^3.[/math] Если мы считаем [math]y[/math] функцией, определяемой этим уравнением, то мы можем мыслить эту функцию подставленной в данное уравнение, которое таким образом является тождеством. Дифференцируем это тождество, пользуясь обычными правилами:

Дифференцируем раз. [math]2x+2y+2xy'-2yy'=0[/math], откуда после сокращения на двойку и переноса (а почему бы и нет?) имеем [math]x+y=(y-x)y'[/math].
Теперь можно выразить [math]y'[/math] через [math]x[/math] и [math]y[/math]. Это опять тождество (не забываем, что [math]y[/math] функция, только мы её явный вид получить не можем или не желаем получать). Но можно дифференцировать дальше тождество [math]x+y=(y-x)y'[/math], не выражая из него [math]y'[/math] - це ж тождество, имеем право.
(Очень даже подходяще для тех, кто не любит дифференцировать дроби. :) )

Дифференцируем два. [math]1+y'=(y'-1)y'+(y-x)y'\Leftrightarrow 1+2y'=y'^2+(y-x)y''[/math]. Отсюда мы легко выразим [math]y''[/math] через [math]x,y[/math] и [math]y'[/math], которая у нас уже выражена (или может быть выражена, но мы не желаем) через [math]x[/math] и [math]y.[/math]

Дифференцируем три. [math]2y''=2y'y''+(y'-1)y''+(y-x)y'''\Leftrightarrow 3y''=3y'y''+(y-x)y'''\ldots[/math]

Если точка, в которой требуется сосчитать производные, дана конкретно, то выгоднее не выражать производные через переменные а находить их последовательно в данной точке из полученных выражений на раз, два, три ... Например, в точке [math](a;0)[/math] последовательно получаем
[math]y' =-1,y''=\frac 2a, y'''=-\frac{12}{a^2}[/math]

PS.Стока понаписАл - неужто ни разу не ошибся? Проверяйте мою арихметику.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
brom
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти первую и вторую производную неявных функций.

в форуме Дифференциальное исчисление

simdiron

1

152

18 дек 2011, 20:47

Повторение производных простых и сложных функций

в форуме Дифференциальное исчисление

Fsq

53

1361

19 окт 2012, 20:49

Найти значение производных данных функций в точке x=0

в форуме Дифференциальное исчисление

iLoveSkA

2

196

12 май 2014, 20:24

Ребят,выручайте))Нaйти знaчения производных для функций

в форуме Дифференциальное исчисление

engli179

0

97

14 дек 2013, 23:28

Найти значение производных данных функций в точке x=0:

в форуме Дифференциальное исчисление

zaqu92

2

484

06 ноя 2012, 16:45

3 вопроса по матану

в форуме Размышления по поводу и без

Citromon

1

291

29 янв 2012, 21:13

Цена вопроса

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

2

191

17 дек 2015, 17:02

Два теоретических вопроса

в форуме Тригонометрия

Sviatoslav

4

126

25 окт 2016, 22:40

Два вопроса по функану

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Isajan

4

270

20 янв 2014, 18:41

Три вопроса по макроэкономике

в форуме Экономика и Финансы

Albert_

0

38

09 фев 2017, 00:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved