Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 26 апр 2011, 14:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2011, 17:23
Сообщений: 73
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как найти условный экстремум этой функции трёх переменных

[math]U = 7x^2 -4xy -10xz +6y^2 -6yz +8z^2 + 2x -5y + 4z - 8[/math],

при [math]8x - 2y -2z + 7 =0[/math] и [math]-9x + 2y +5z + 2 =0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 30 апр 2011, 02:36 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
idea

Выразите в первом ограничивающем уравнение [math]y[/math], во втором- [math]z[/math] и подставьте их значения в функцию. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получите квадратичную функцию одной переменной от [math]x[/math], то есть параболу, экстремумы которой известны.

Напишите, что получается, а мы проверим.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 30 апр 2011, 14:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не удачно подсказал в своём предыдущем посте, поэтому иcправляюсь :crazy:

Решим ограничивающие уравнения совместно как систему относительно [math]x[/math] и [math]y[/math] [можно и другие пары]
[math]V\colon \begin{cases}8x - 2y - 2z + 7 = 0,\\ - 9x + 2y + 5z + 2 = 0;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 3z + 9,\\[3pt]y = 11z + \dfrac{{79}}{2}.\end{cases}[/math]

Подставим полученное решение системы в функцию [math]U[/math] и получим функцию одной переменной, обозначим её через [math]u[/math]

[math]\begin{aligned} u &= 7(3z + 9)^2 - 4(3z + 9)\!\left(11z + \frac{79}{2}\right) - 10(3z + 9)z + 6{\left(11z + \frac{79}{2}\right)\!}^2 -\\&\phantom{= 7(3z}- 6\!\left(11z + \frac{79}{2} \right)\!z + 8z^2 + 2(3z + 9) - 5\!\left(11z + \frac{79}{2} \right) + 4z - 8=\\ &= 569z^2 + 4350z + 8315\end{aligned}[/math]

Таким образом, получили квадратичную функцию (параболу) с положительным коэффициентом при старшем члене, из чего следует, что экстремумом данной параболы является минимум; найдём, при каком значении [math]z[/math] он достигается:

[math]u'=1138z + 4350 = 0 \quad \Rightarrow \quad z=-\frac{2175}{569}[/math]

Зная [math]z[/math], вычислим значения переменных [math]x[/math] и [math]y[/math]:

[math]x&=3z+9=3\cdot\!\left(-\frac{2175}{569}\right)+9=-\frac{1404}{569}\,, \quad y&=11z+\frac{79}{2}=11\cdot\!\left(-\frac{2175}{569}\right)+\frac{79}{2}=-\frac{2899}{1138}\,.[/math]

Итак, окончательно имеем:

[math]\min_{V}U= f\!\left(-\frac{1404}{569},-\frac{2899}{1138},-\frac{2175}{569}\right)= \ldots=\frac{2886}{569}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 30 апр 2011, 16:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3318
Cпасибо сказано: 238
Спасибо получено:
997 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Интересно выяснить геометрический смысл этой задачи.Я решил ее по-другому, используя метод множителей Лагранжа.Ответ получил такой же как у Вас.
Заданная поверхность - это эллипсоид. Плоскости секут его по эллипсам.
Линия пересечения плоскостей - ограничений эллипсоид не пересекает.
Вот и спрашивается - каков смысл полученного ответа. (У меня есть догадки, что скажите Вы?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 01 май 2011, 22:30 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2011, 17:23
Сообщений: 73
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
спасибо, но задам глупый вопрос, извините. Как вы получили в начале значения х и у? И с помошью каких преобразований вы получили положительное число в конце?

vvvv
А как вы решали по Лагранжу?

Вот, до куда дошел я. Не знаю, что дальше.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2011, 01:36 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
idea писал(а):
Как вы получили в начале значения х и у?

Решили ограничивающие уравнения как систему уравнений относительно [math]x[/math] и [math]y[/math].
Неужели Вы не знаете, как решать линейные системы уравнений??

idea писал(а):
И с помошью каких преобразований вы получили положительное число в конце?

Вы считаете, что минимум функции не можеть быть положительным??
:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции трёх переменных
СообщениеДобавлено: 02 май 2011, 01:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3318
Cпасибо сказано: 238
Спасибо получено:
997 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По лямбда дифференцировать не нужно.Записываем систему из пяти уравнений и
решаем.См. картинку.
Изображение

P.S. Но все-таки остается неясен смысл найденного решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на условный экстремум функции трех переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Yurievna

10

1117

17 мар 2018, 12:43

Найти экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Jugalator

11

494

28 май 2018, 19:47

Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

320

17 дек 2016, 19:02

Условный экстремум функции о двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MercuryOcean

6

473

01 дек 2016, 22:59

Относительный экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Finn_parnichka

11

654

27 мар 2018, 17:02

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ololo127001

0

179

18 дек 2016, 13:07

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ainur

0

260

14 дек 2014, 19:47

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

pelimencik

1

376

09 июн 2015, 08:47

Найти условный экстремум для данной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Tina5310

15

796

04 май 2014, 18:11

Исследовать функции на условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MathSamurai

2

177

26 авг 2019, 13:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved