Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
idea |
|
||
[math]U = 7x^2 -4xy -10xz +6y^2 -6yz +8z^2 + 2x -5y + 4z - 8[/math], при [math]8x - 2y -2z + 7 =0[/math] и [math]-9x + 2y +5z + 2 =0[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
idea
Выразите в первом ограничивающем уравнение [math]y[/math], во втором- [math]z[/math] и подставьте их значения в функцию. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получите квадратичную функцию одной переменной от [math]x[/math], то есть параболу, экстремумы которой известны. Напишите, что получается, а мы проверим. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Я не удачно подсказал в своём предыдущем посте, поэтому иcправляюсь
Решим ограничивающие уравнения совместно как систему относительно [math]x[/math] и [math]y[/math] [можно и другие пары] [math]V\colon \begin{cases}8x - 2y - 2z + 7 = 0,\\ - 9x + 2y + 5z + 2 = 0;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 3z + 9,\\[3pt]y = 11z + \dfrac{{79}}{2}.\end{cases}[/math] Подставим полученное решение системы в функцию [math]U[/math] и получим функцию одной переменной, обозначим её через [math]u[/math] [math]\begin{aligned} u &= 7(3z + 9)^2 - 4(3z + 9)\!\left(11z + \frac{79}{2}\right) - 10(3z + 9)z + 6{\left(11z + \frac{79}{2}\right)\!}^2 -\\&\phantom{= 7(3z}- 6\!\left(11z + \frac{79}{2} \right)\!z + 8z^2 + 2(3z + 9) - 5\!\left(11z + \frac{79}{2} \right) + 4z - 8=\\ &= 569z^2 + 4350z + 8315\end{aligned}[/math] Таким образом, получили квадратичную функцию (параболу) с положительным коэффициентом при старшем члене, из чего следует, что экстремумом данной параболы является минимум; найдём, при каком значении [math]z[/math] он достигается: [math]u'=1138z + 4350 = 0 \quad \Rightarrow \quad z=-\frac{2175}{569}[/math] Зная [math]z[/math], вычислим значения переменных [math]x[/math] и [math]y[/math]: [math]x&=3z+9=3\cdot\!\left(-\frac{2175}{569}\right)+9=-\frac{1404}{569}\,, \quad y&=11z+\frac{79}{2}=11\cdot\!\left(-\frac{2175}{569}\right)+\frac{79}{2}=-\frac{2899}{1138}\,.[/math] Итак, окончательно имеем: [math]\min_{V}U= f\!\left(-\frac{1404}{569},-\frac{2899}{1138},-\frac{2175}{569}\right)= \ldots=\frac{2886}{569}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math |
|||
vvvv |
|
||
Alexdemath
Интересно выяснить геометрический смысл этой задачи.Я решил ее по-другому, используя метод множителей Лагранжа.Ответ получил такой же как у Вас. Заданная поверхность - это эллипсоид. Плоскости секут его по эллипсам. Линия пересечения плоскостей - ограничений эллипсоид не пересекает. Вот и спрашивается - каков смысл полученного ответа. (У меня есть догадки, что скажите Вы?) |
|||
Вернуться к началу | |||
idea |
|
||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
idea писал(а): Как вы получили в начале значения х и у? Решили ограничивающие уравнения как систему уравнений относительно [math]x[/math] и [math]y[/math]. Неужели Вы не знаете, как решать линейные системы уравнений?? idea писал(а): И с помошью каких преобразований вы получили положительное число в конце? Вы считаете, что минимум функции не можеть быть положительным?? |
|||
Вернуться к началу | |||
vvvv |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |