Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
jdex |
|
|
Цитата: Для функций а) [math]f(x) = x^{n}[/math] и б) [math]\varphi (x) = \sin{x}[/math] найти значение аргумента [math]x[/math], при котором дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при [math]\Delta x \to 0[/math]. Ответы в задачнике: а) [math]0[/math] и б) [math]\pi \slash2+ k\pi[/math] Вопрос следующий: правильные ли ответы? У меня не получается для данных значений доказать, что приращение функции и дифференциал не являются эквивалентными при [math]\Delta x \to 0[/math]: согласно одному из обозначений эквивалентности, дифференциал и приращение функции будут такими при [math]\Delta x \to 0[/math], если [math]\Delta y = dy + o(dy)[/math], при [math]\Delta x \to 0[/math]. Поскольку [math]dy = f'(x)\Delta x[/math] и мы имеем дело с конечными производными для всех [math]x[/math] из области определения, то [math]f'(x)\Delta x[/math] и [math]\Delta x[/math] величины одного порядка и мы можем написать: [math]\Delta y = f'(x)\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] (что фактически является определением дифференцируемости функции). Теперь перейдем к примерам из задачи. а) [math](x + \Delta x)^{n} - x^{n} = n \cdot x^{n-1}\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] при [math]x = 0[/math]: [math](\Delta x)^{n} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] Последнее соотношение справедливо, поскольку [math](\Delta x)^{n}[/math] есть бесконечно малая более высокого порядка, чем [math]\Delta x[/math], и получается, что дифференциал и приращение эквивалентны для [math]x=0, \Delta x \to 0[/math]. б) [math]\sin{(x + \Delta x)} - \sin{(x)} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] [math]2 \cdot \sin{(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} \cdot \cos{(x+\frac{ \Delta x }{ 2 })} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] Положим [math]x = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], тогда: [math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] [math]- \frac{ 1 }{ 2 } \cdot (\Delta x)^{2} \cdot \frac{ \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} }{ (\frac{ \Delta x }{ 2 } )^{2} } = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] Поскольку [math]\frac{ \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} }{ (\frac{ \Delta x }{ 2 } )^{2} } \to 1, \Delta x \to 0[/math], то [math]( \Delta x )^{2} = - 2 \cdot o(\Delta x) = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] И вновь последнее выражение справедливо, то есть дифференциал и приращение эквивалентны для [math]\pi \slash 2, \Delta x \to 0[/math]. Помогите, пожалуйста. Или я где-то ошибаюсь, или неправильно понял условия задачи, либо еще какие-то варианты. Задачник: Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С.,М.: Физматлит, 2001-2003; Том 2, задача 6.281 |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
jdex писал(а): согласно одному из обозначений эквивалентности, дифференциал и приращение функции будут такими при Δx→0 , если Δy=dy+o(dy) , при Δx→0 . К сожалению не знаком с вашим обозначением. Однако вспоминаю, что две БМ функции эквивалентны <-> их частное стремится к 1 , если аргумент стремится к 0. При этом определении функции [math]f(x)=0[/math] и [math]g(x)=x^2[/math] не эквивалентны. Примерно такая картина наблюдается в ответах к вашей задаче. |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
jdex писал(а): Положим [math]x = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], тогда: [math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] Дальше и не надо. Дифференциал в этом случае равен 0. А приращение функции равно [math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )}[/math]. Поделите теперь дифференциал на приращение и устремите [math]\Delta x[/math] к нулю. Что получилось? |
||
Вернуться к началу | ||
jdex |
|
|
Спасибо всем! Понял, в чем моя ошибка.
Речь идет о [math]f'(x) = 0[/math] - условие того, что дифференциал и приращение функции неэквивалентны. Расчеты у меня правильные, а вот выводы неправильные. Из того, что приращение функции есть величина бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента (что фактически у меня и получилось), следует, что приращение функции и дифференциал не есть эквивалентные функции (по [math]\Delta x[/math]) при [math]\Delta x \to 0[/math]. Необходимо, чтобы они (приращение функции и аргумента) были величинами одного порядка для эквивалентности приращения функции и дифференциала. searcher писал(а): К сожалению не знаком с вашим обозначением. Оно напрямую следует из вашего обозначения: функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] эквивалентны при [math]x \to a[/math], если: [math]\lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) } = 1[/math], [math]\frac{ f(x) }{ g(x) } = 1 + \alpha (x), \alpha (x) \to 0, x \to a[/math], [math]f(x) = g(x) \cdot (1 + \alpha (x)), \alpha (x) \to 0, x \to a[/math], [math]f(x) = g(x) + g(x) \cdot \alpha (x) =g(x) + o(g(x)), x \to a[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |