Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе
СообщениеДобавлено: 04 мар 2017, 20:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2017, 17:35
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток всем! Изучаю математику и столкнулся со следующей задачей (ниже укажу сам задачник):

Цитата:
Для функций а) [math]f(x) = x^{n}[/math] и б) [math]\varphi (x) = \sin{x}[/math] найти значение аргумента [math]x[/math], при котором дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при [math]\Delta x \to 0[/math].

Ответы в задачнике: а) [math]0[/math] и б) [math]\pi \slash2+ k\pi[/math]

Вопрос следующий: правильные ли ответы?

У меня не получается для данных значений доказать, что приращение функции и дифференциал не являются эквивалентными при [math]\Delta x \to 0[/math]:
согласно одному из обозначений эквивалентности, дифференциал и приращение функции будут такими при [math]\Delta x \to 0[/math], если
[math]\Delta y = dy + o(dy)[/math], при [math]\Delta x \to 0[/math].

Поскольку [math]dy = f'(x)\Delta x[/math] и мы имеем дело с конечными производными для всех [math]x[/math] из области определения, то [math]f'(x)\Delta x[/math] и [math]\Delta x[/math] величины одного порядка и мы можем написать:
[math]\Delta y = f'(x)\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math] (что фактически является определением дифференцируемости функции).

Теперь перейдем к примерам из задачи.

а) [math](x + \Delta x)^{n} - x^{n} = n \cdot x^{n-1}\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
при [math]x = 0[/math]:
[math](\Delta x)^{n} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
Последнее соотношение справедливо, поскольку [math](\Delta x)^{n}[/math] есть бесконечно малая более высокого порядка, чем [math]\Delta x[/math], и получается, что дифференциал и приращение эквивалентны для [math]x=0, \Delta x \to 0[/math].

б) [math]\sin{(x + \Delta x)} - \sin{(x)} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
[math]2 \cdot \sin{(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} \cdot \cos{(x+\frac{ \Delta x }{ 2 })} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
Положим [math]x = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], тогда:
[math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
[math]- \frac{ 1 }{ 2 } \cdot (\Delta x)^{2} \cdot \frac{ \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} }{ (\frac{ \Delta x }{ 2 } )^{2} } = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]

Поскольку [math]\frac{ \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} }{ (\frac{ \Delta x }{ 2 } )^{2} } \to 1, \Delta x \to 0[/math], то
[math]( \Delta x )^{2} = - 2 \cdot o(\Delta x) = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]
И вновь последнее выражение справедливо, то есть дифференциал и приращение эквивалентны для [math]\pi \slash 2, \Delta x \to 0[/math].

Помогите, пожалуйста. Или я где-то ошибаюсь, или неправильно понял условия задачи, либо еще какие-то варианты.

Задачник:
Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С.,М.: Физматлит, 2001-2003;
Том 2, задача 6.281

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе
СообщениеДобавлено: 04 мар 2017, 20:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
jdex писал(а):
согласно одному из обозначений эквивалентности, дифференциал и приращение функции будут такими при Δx→0 , если Δy=dy+o(dy) , при Δx→0 .

К сожалению не знаком с вашим обозначением. Однако вспоминаю, что две БМ функции эквивалентны <-> их частное стремится к 1 , если аргумент стремится к 0. При этом определении функции [math]f(x)=0[/math] и [math]g(x)=x^2[/math] не эквивалентны. Примерно такая картина наблюдается в ответах к вашей задаче.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе
СообщениеДобавлено: 04 мар 2017, 20:55 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
jdex писал(а):

Положим [math]x = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], тогда:
[math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} = o(\Delta x), \Delta x \to 0[/math]

Дальше и не надо. Дифференциал в этом случае равен 0. А приращение функции равно [math]- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )}[/math].

Поделите теперь дифференциал на приращение и устремите [math]\Delta x[/math] к нулю. Что получилось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе
СообщениеДобавлено: 04 мар 2017, 22:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2017, 17:35
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо всем! Понял, в чем моя ошибка.
Речь идет о [math]f'(x) = 0[/math] - условие того, что дифференциал и приращение функции неэквивалентны.
Расчеты у меня правильные, а вот выводы неправильные. Из того, что приращение функции есть величина бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента (что фактически у меня и получилось), следует, что приращение функции и дифференциал не есть эквивалентные функции (по [math]\Delta x[/math]) при [math]\Delta x \to 0[/math]. Необходимо, чтобы они (приращение функции и аргумента) были величинами одного порядка для эквивалентности приращения функции и дифференциала.


searcher писал(а):
К сожалению не знаком с вашим обозначением.

Оно напрямую следует из вашего обозначения: функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] эквивалентны при [math]x \to a[/math], если:
[math]\lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) } = 1[/math],
[math]\frac{ f(x) }{ g(x) } = 1 + \alpha (x), \alpha (x) \to 0, x \to a[/math],
[math]f(x) = g(x) \cdot (1 + \alpha (x)), \alpha (x) \to 0, x \to a[/math],
[math]f(x) = g(x) + g(x) \cdot \alpha (x) =g(x) + o(g(x)), x \to a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел функции по базе

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vitalya1338

0

175

20 ноя 2018, 16:31

Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?

в форуме Дифференциальное исчисление

E-Loki

24

2323

02 авг 2015, 14:50

Найти эквивалентность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

faunasie

0

164

16 окт 2018, 14:19

Найти эквивалентность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

faunasie

3

279

14 окт 2018, 12:51

Подведение функции под знак дифференциала

в форуме Интегральное исчисление

Maik

1

370

18 фев 2017, 16:29

Нахождение второго дифференциала функции

в форуме Дифференциальное исчисление

matik

1

121

16 янв 2020, 17:02

Сложность с внесением функции под знак дифференциала

в форуме Интегральное исчисление

OlNeva

0

206

04 дек 2018, 19:18

По базе вопрос

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

asdilia

1

113

20 дек 2020, 10:57

Найти приращения функционалов

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MissAlbina

0

227

21 дек 2018, 09:46

Формула Коши в теореме Лагранжа, конечные приращения, I сем

в форуме Дифференциальное исчисление

dmitry4math

2

427

05 янв 2016, 18:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved