Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
MercuryOcean |
|
|
Найти условные экстремумы функции: [math][/math] [math]u(x,y)=\ln{xy}[/math] при [math]x^{3} + xy + y^{3}=0[/math] я решаю так: Выяснил, что экстремумы функции не принадлежат к области определения (наше условие) Строю функцию Лагранжа: [math]{L} = ln{xy} + \lambda(x^{3} + xy + y^{3})[/math] Строю систему уравнений из частных производных функции Лагранжа и условий: [math]\begin{equation*} \begin{cases} \frac{d {L}}{d x} =1 \slash x + 3\lambda x^{2}+\lambda y =0 \\ \frac{d {L}}{d y} =1 \slash y + 3\lambda y^{2}+\lambda x =0 \\ x^{3} + xy + y^{3}=0 \end{cases} \end{equation*}[/math] дальше возникают проблемы с выражением x и x через [math]\lambda[/math]. Буду очень благодарен, если кто-то сможет помочь выразить или указать на ошибку при решении, заранее спаибо |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: MercuryOcean |
||
MercuryOcean |
|
|
searcher писал(а): Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены. Спасибо за помощь Если мы подставляем [math]x=y[/math] в одно из уравнений, то получаются страшные вещи (если верить вольфраму), а с тем, что получается в скобках я и не знаю что делать : [math]3\lambda x^{2} y+ 3\lambda xy^{2}=1[/math] Последний раз редактировалось MercuryOcean 02 дек 2016, 00:00, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Если сложно, тогда может выкинуть логарифм? (Считая при этом [math]x<0[/math], [math]y<0[/math]).
MercuryOcean писал(а): Если мы подставляем x=y в одно из уравнений Подставить надо в исходную задачу. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: MercuryOcean |
||
MercuryOcean |
|
|
searcher писал(а): Подставить надо в исходную задачу. если подставить в исходное, то первая производная получится вот такой: [math]2 \slash x = 0[/math] а откуда мы можем выкинуть логарифм и как это возможно? нам же точку надо найти |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Максимум будет в т. (-1/2;-1/2) и он равен: -2ln(2)
|
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
MercuryOcean, при решении системы нужно избавиться от лямбда путем деления уравнений.
Получите систему двух уравнений относительно х и у, далее исключите нулевые решения. Получите ответ , указанный выше. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |