Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 01 дек 2016, 23:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 23:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math][/math]Привет, форумчане! Есть проблема с казалось бы простой задачей.
Найти условные экстремумы функции:

[math][/math] [math]u(x,y)=\ln{xy}[/math] при [math]x^{3} + xy + y^{3}=0[/math]

я решаю так:

Выяснил, что экстремумы функции не принадлежат к области определения (наше условие)

Строю функцию Лагранжа:
[math]{L} = ln{xy} + \lambda(x^{3} + xy + y^{3})[/math]

Строю систему уравнений из частных производных функции Лагранжа и условий:
[math]\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{d {L}}{d x} =1 \slash x + 3\lambda x^{2}+\lambda y =0
\\
\frac{d {L}}{d y} =1 \slash y + 3\lambda y^{2}+\lambda x =0
\\
x^{3} + xy + y^{3}=0
\end{cases}
\end{equation*}[/math]


дальше возникают проблемы с выражением x и x через [math]\lambda[/math].
Буду очень благодарен, если кто-то сможет помочь выразить или указать на ошибку при решении, заранее спаибо :) :) :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 02 дек 2016, 00:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2747
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
406 раз в 386 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
MercuryOcean
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 02 дек 2016, 00:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 23:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены.

Спасибо за помощь :)
Если мы подставляем [math]x=y[/math] в одно из уравнений, то получаются страшные вещи (если верить вольфраму), а с тем, что получается в скобках я и не знаю что делать :
[math]3\lambda x^{2} y+ 3\lambda xy^{2}=1[/math]


Последний раз редактировалось MercuryOcean 02 дек 2016, 01:00, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 02 дек 2016, 00:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2747
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
406 раз в 386 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если сложно, тогда может выкинуть логарифм? (Считая при этом [math]x<0[/math], [math]y<0[/math]).
MercuryOcean писал(а):
Если мы подставляем x=y в одно из уравнений

Подставить надо в исходную задачу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
MercuryOcean
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 02 дек 2016, 01:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 23:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Подставить надо в исходную задачу.

если подставить в исходное, то первая производная получится вот такой:
[math]2 \slash x = 0[/math]
а откуда мы можем выкинуть логарифм и как это возможно? нам же точку надо найти

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 03 дек 2016, 20:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2689
Cпасибо сказано: 177
Спасибо получено:
848 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Максимум будет в т. (-1/2;-1/2) и он равен: -2ln(2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 03 дек 2016, 22:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2689
Cпасибо сказано: 177
Спасибо получено:
848 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MercuryOcean, при решении системы нужно избавиться от лямбда путем деления уравнений.
Получите систему двух уравнений относительно х и у, далее исключите нулевые решения.
Получите ответ , указанный выше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

144

17 дек 2016, 20:02

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

pacific

2

543

24 май 2013, 15:17

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vertigo

2

325

31 май 2012, 02:09

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serg_miren

5

275

10 май 2012, 11:22

Найти экстремум функции двух переменных.

в форуме Дифференциальное исчисление

Monarkhov

5

373

26 май 2013, 12:34

Найдите экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

4

292

27 янв 2013, 02:53

Экстремум функции двух переменных.Запуталась

в форуме Дифференциальное исчисление

lisica198808

4

223

10 фев 2014, 22:50

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Rea1l

0

200

31 мар 2014, 10:15

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

number_one

2

347

11 июн 2012, 01:10

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

1

418

27 янв 2013, 21:02


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved