Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 01 дек 2016, 22:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 22:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math][/math]Привет, форумчане! Есть проблема с казалось бы простой задачей.
Найти условные экстремумы функции:

[math][/math] [math]u(x,y)=\ln{xy}[/math] при [math]x^{3} + xy + y^{3}=0[/math]

я решаю так:

Выяснил, что экстремумы функции не принадлежат к области определения (наше условие)

Строю функцию Лагранжа:
[math]{L} = ln{xy} + \lambda(x^{3} + xy + y^{3})[/math]

Строю систему уравнений из частных производных функции Лагранжа и условий:
[math]\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{d {L}}{d x} =1 \slash x + 3\lambda x^{2}+\lambda y =0
\\
\frac{d {L}}{d y} =1 \slash y + 3\lambda y^{2}+\lambda x =0
\\
x^{3} + xy + y^{3}=0
\end{cases}
\end{equation*}[/math]


дальше возникают проблемы с выражением x и x через [math]\lambda[/math].
Буду очень благодарен, если кто-то сможет помочь выразить или указать на ошибку при решении, заранее спаибо :) :) :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 01 дек 2016, 23:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4108
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
617 раз в 583 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
MercuryOcean
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 01 дек 2016, 23:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 22:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Минимум тут не достигается. При стремлении [math]x[/math] и [math]y[/math] к нулю (оставаясь отрицательными) наша функция стремится к минус бесконечности. Максимум достигается при [math]x=y[/math]. Это видно построив график допустимой области. Вычтите одно уравнение из другого. Тогда можно вынести за скобку [math]x-y[/math]. С тем, что останется, придётся тоже разбираться. Есть ещё такой ход. Логарифм - функция монотонная. Выкиньте её из условия. Тогда уравнения будут проще. Может стоит всё выразить через элементарные симметричные многочлены.

Спасибо за помощь :)
Если мы подставляем [math]x=y[/math] в одно из уравнений, то получаются страшные вещи (если верить вольфраму), а с тем, что получается в скобках я и не знаю что делать :
[math]3\lambda x^{2} y+ 3\lambda xy^{2}=1[/math]


Последний раз редактировалось MercuryOcean 02 дек 2016, 00:00, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 01 дек 2016, 23:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4108
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
617 раз в 583 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если сложно, тогда может выкинуть логарифм? (Считая при этом [math]x<0[/math], [math]y<0[/math]).
MercuryOcean писал(а):
Если мы подставляем x=y в одно из уравнений

Подставить надо в исходную задачу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
MercuryOcean
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 02 дек 2016, 00:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2016, 22:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Подставить надо в исходную задачу.

если подставить в исходное, то первая производная получится вот такой:
[math]2 \slash x = 0[/math]
а откуда мы можем выкинуть логарифм и как это возможно? нам же точку надо найти

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 03 дек 2016, 19:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 2789
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
867 раз в 742 сообщениях
Очков репутации: 254

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Максимум будет в т. (-1/2;-1/2) и он равен: -2ln(2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум функции о двух переменных
СообщениеДобавлено: 03 дек 2016, 21:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 2789
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
867 раз в 742 сообщениях
Очков репутации: 254

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MercuryOcean, при решении системы нужно избавиться от лямбда путем деления уравнений.
Получите систему двух уравнений относительно х и у, далее исключите нулевые решения.
Получите ответ , указанный выше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

173

17 дек 2016, 19:02

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Светлана

2

2001

20 апр 2010, 14:02

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

pacific

2

609

24 май 2013, 14:17

Найти условный экстремум функции трёх переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

idea

6

2414

26 апр 2011, 14:31

Задача на условный экстремум функции трех переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Yurievna

10

297

17 мар 2018, 12:43

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

274

25 апр 2018, 15:21

Экстремум функции двух переменных z=x²+3y²+x-y

в форуме Дифференциальное исчисление

Forest

3

644

22 сен 2010, 12:40

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

ExtreMaLLlka

10

177

23 май 2018, 09:17

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vertigo

2

385

31 май 2012, 01:09

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MrDrap

4

293

09 дек 2011, 15:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved