Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Зависимость и независимость
СообщениеДобавлено: 09 сен 2016, 20:10 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Недавно я решал задачу по теоретической механике. И мне попалась функция [math]u = \dot{r} + r \dot{\varphi}[/math]. Возможно, она выглядела немного иначе, это не принципиально для данной темы. Далее возникла необходимость найти следующую частную производную: [math]\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial( \dot{r} + r \dot{\varphi})}{\partial r}[/math]. Сначала я находился в нерешительности. Вопрос был в следующем: зависит ли [math]\dot{r}[/math] от [math]r[/math]? Я предположил, что нет, и, следовательно, [math]\dot{r}[/math] следует считать постоянной при дифференцировании. Я нашел ту же формулу в интернете: ответ вышел верным, то есть [math]\frac{\partial u}{\partial r} = \dot{\varphi}[/math].

Некоторое время спустя я мысленно вновь возвратился к задаче. Почему же не зависит? Вот, например, [math]r = t^3[/math]. Тогда
[math]\dot{r} = 3t^2[/math]
[math]\dot{r} = 3r^{\frac{2}{3}}[/math]
Значит зависит? После подстановки [math]u[/math] будет выглядеть так: [math]3r^{\frac{2}{3}} + r \dot{\varphi}[/math].
Производная явно будет другой.

Чуть позже ко мне пришла следующая мысль. Ведь при дифференцировании мы считаем [math]r[/math] переменной независимой. Независимая [math]r[/math] переменная зависит лишь от самой себя, то есть [math]r = r(r)[/math], поэтому ее производная по времени, как, впрочем, и по любой другой переменной, будет равна 0. Таким образом, лишь только мы собрались дифференцировать по [math]r[/math], ее производная обнуляется: [math]\dot{r} = 0[/math]. Тогда понятен результат, но непонятен контрпример. Если же я не ошибся в контрпримере, то откуда такой результат?

Прошу помочь мне найти ответ на вопрос: зависит [math]\dot{r}[/math] от [math]r[/math] или нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Зависимость и независимость
СообщениеДобавлено: 10 сен 2016, 09:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Недавно я решал задачу по теоретической механике. И мне попалась функция [math]u = \dot{r} + r \dot{\varphi}[/math].

Пост длинный. Пока осилил только первые два предложения. По поводу осиленного хочу сказать, что в этой формуле точка сверху - это не производная ( [math]\dot{r}[/math] - это единый символ). Имеем функцию от трёх переменных, которые мы можем обозначить любыми буквами. И в принципе мы можем записать [math]u(x,y,z)=x+yz[/math]. И стоит задача найти производную от этой функции по [math]y[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Зависимость и независимость
СообщениеДобавлено: 10 сен 2016, 21:15 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, прошу прощения за длинный пост. Но все же взгляните на второй абзац, он небольшой. Результат не может зависеть от обозначения. Изначально [math]u[/math] была найдена как функция от времени, так что ее можно выразить и по-другому, а именно как [math]u = u(r, \dot{ \varphi })[/math], и лишь после этого продифференцировать.

Что смущает меня в этом решении — это возможность вообще выразить ее только через [math]r[/math]. Ведь в физике время связывает все остальные переменные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Зависимость и независимость
СообщениеДобавлено: 11 сен 2016, 13:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
Я ваш вопрос так до конца и не понял. Поэтому, то что напишу, это лично моё мнение, не обязательно совпадающее с официальной точкой зрения. Допустим у нас есть функция [math]u=x+y*z[/math]. Частные производные этой функции ищется однозначно, вне зависимости, есть тут ещё какая-то дополнительная зависимость между аргументами или нет. Наша функция об этом ничего не знает и от этого не меняется. Другое дело, если нам нужно найти что-то другое. Допустим [math]y[/math] есть функция от [math]x[/math]. Тогда по нашей функции мы можем построить некоторую новую функцию от двух аргументов [math]x[/math] и [math]z[/math] и искать частные производные этой новой функции. Но это уже будет другая функция (это важно понять) и другая задача. Вполне возможно, что все аргументы есть функции от одного аргумента [math]t[/math]. Тогда мы можем построить новую функцию. зависящую от одного аргумента и искать её производную. Это уже третья задача. Что же касается вашего вопроса
Space писал(а):
Прошу помочь мне найти ответ на вопрос: зависит от или нет?

(формулы чего-то не цитируются), то ответ таков. Конкретно в вашем цитируемом случае зависимость есть. На вычисление частной производной в начале первого поста это никак не влияет. Но случай не обязан быть такой, как вы привели. И зависимости может и не быть.
Space писал(а):
Результат не может зависеть от обозначения. Изначально [math]u[/math] была найдена как функция от времени, так что ее можно выразить и по-другому, а именно как [math]u = u(r, \dot{ \varphi })[/math], и лишь после этого продифференцировать.

Вот в чём ваша ошибка. Вернёмся к функции [math]u=x+yz[/math]. Пусть [math]y=x[/math]. Мы можем построить новую функцию [math]v=x+x*z[/math]. И мы имеем две разные функции, и они будут иметь разные частные производные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Зависимость и независимость
СообщениеДобавлено: 11 сен 2016, 14:28 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Но это уже будет другая функция (это важно понять) и другая задача.

Очень благодарен за ответ. Я полагаю, эта проблема не имеет общего решения, но необходимо смотреть на конкретный пример. Значит ответ на вопрос, от скольких переменных зависит [math]u[/math] кроется в ходе решения задачи и нужно посмотреть, как была выведена формула с частной производной, которую мне требовалось найти.

searcher писал(а):
([math]\dot{r}[/math] - это единый символ)

Да, видимо, так и есть в моем случае. Значит это проблема физики, а не математики. В ней никогда не ясно, что от чего зависит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Линейная зависимость или независимость системы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

StahisT

1

351

08 май 2014, 18:34

Линейная зависимость/независимость векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

S_Viktor

2

209

24 май 2019, 00:39

Проверить линейную зависимость или линейную независимость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Elsey

1

303

08 ноя 2016, 23:00

Независимость σ-алгебр

в форуме Теория вероятностей

Ildarryabkov

7

593

05 мар 2017, 23:52

Линейная независимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

md_house

1

208

08 мар 2018, 17:44

Установить независимость событий

в форуме Теория вероятностей

Ferrari F1

3

393

24 окт 2015, 10:32

Задача на независимость событий

в форуме Теория вероятностей

[dominika]

1

389

06 дек 2014, 20:15

Объединение событий и их независимость

в форуме Теория вероятностей

tim

4

107

04 май 2023, 17:27

Независимость случайных величин

в форуме Теория вероятностей

Zhenek

0

164

23 сен 2018, 07:59

Проверить линейную независимость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

denis_fpmi

0

338

17 июн 2014, 22:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved