Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Space |
|
|
Некоторое время спустя я мысленно вновь возвратился к задаче. Почему же не зависит? Вот, например, [math]r = t^3[/math]. Тогда [math]\dot{r} = 3t^2[/math] [math]\dot{r} = 3r^{\frac{2}{3}}[/math] Значит зависит? После подстановки [math]u[/math] будет выглядеть так: [math]3r^{\frac{2}{3}} + r \dot{\varphi}[/math]. Производная явно будет другой. Чуть позже ко мне пришла следующая мысль. Ведь при дифференцировании мы считаем [math]r[/math] переменной независимой. Независимая [math]r[/math] переменная зависит лишь от самой себя, то есть [math]r = r(r)[/math], поэтому ее производная по времени, как, впрочем, и по любой другой переменной, будет равна 0. Таким образом, лишь только мы собрались дифференцировать по [math]r[/math], ее производная обнуляется: [math]\dot{r} = 0[/math]. Тогда понятен результат, но непонятен контрпример. Если же я не ошибся в контрпримере, то откуда такой результат? Прошу помочь мне найти ответ на вопрос: зависит [math]\dot{r}[/math] от [math]r[/math] или нет? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Space писал(а): Недавно я решал задачу по теоретической механике. И мне попалась функция [math]u = \dot{r} + r \dot{\varphi}[/math]. Пост длинный. Пока осилил только первые два предложения. По поводу осиленного хочу сказать, что в этой формуле точка сверху - это не производная ( [math]\dot{r}[/math] - это единый символ). Имеем функцию от трёх переменных, которые мы можем обозначить любыми буквами. И в принципе мы можем записать [math]u(x,y,z)=x+yz[/math]. И стоит задача найти производную от этой функции по [math]y[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
searcher, прошу прощения за длинный пост. Но все же взгляните на второй абзац, он небольшой. Результат не может зависеть от обозначения. Изначально [math]u[/math] была найдена как функция от времени, так что ее можно выразить и по-другому, а именно как [math]u = u(r, \dot{ \varphi })[/math], и лишь после этого продифференцировать.
Что смущает меня в этом решении — это возможность вообще выразить ее только через [math]r[/math]. Ведь в физике время связывает все остальные переменные. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Space
Я ваш вопрос так до конца и не понял. Поэтому, то что напишу, это лично моё мнение, не обязательно совпадающее с официальной точкой зрения. Допустим у нас есть функция [math]u=x+y*z[/math]. Частные производные этой функции ищется однозначно, вне зависимости, есть тут ещё какая-то дополнительная зависимость между аргументами или нет. Наша функция об этом ничего не знает и от этого не меняется. Другое дело, если нам нужно найти что-то другое. Допустим [math]y[/math] есть функция от [math]x[/math]. Тогда по нашей функции мы можем построить некоторую новую функцию от двух аргументов [math]x[/math] и [math]z[/math] и искать частные производные этой новой функции. Но это уже будет другая функция (это важно понять) и другая задача. Вполне возможно, что все аргументы есть функции от одного аргумента [math]t[/math]. Тогда мы можем построить новую функцию. зависящую от одного аргумента и искать её производную. Это уже третья задача. Что же касается вашего вопроса Space писал(а): Прошу помочь мне найти ответ на вопрос: зависит от или нет? (формулы чего-то не цитируются), то ответ таков. Конкретно в вашем цитируемом случае зависимость есть. На вычисление частной производной в начале первого поста это никак не влияет. Но случай не обязан быть такой, как вы привели. И зависимости может и не быть. Space писал(а): Результат не может зависеть от обозначения. Изначально [math]u[/math] была найдена как функция от времени, так что ее можно выразить и по-другому, а именно как [math]u = u(r, \dot{ \varphi })[/math], и лишь после этого продифференцировать. Вот в чём ваша ошибка. Вернёмся к функции [math]u=x+yz[/math]. Пусть [math]y=x[/math]. Мы можем построить новую функцию [math]v=x+x*z[/math]. И мы имеем две разные функции, и они будут иметь разные частные производные. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
searcher писал(а): Но это уже будет другая функция (это важно понять) и другая задача. Очень благодарен за ответ. Я полагаю, эта проблема не имеет общего решения, но необходимо смотреть на конкретный пример. Значит ответ на вопрос, от скольких переменных зависит [math]u[/math] кроется в ходе решения задачи и нужно посмотреть, как была выведена формула с частной производной, которую мне требовалось найти. searcher писал(а): ([math]\dot{r}[/math] - это единый символ) Да, видимо, так и есть в моем случае. Значит это проблема физики, а не математики. В ней никогда не ясно, что от чего зависит. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Линейная зависимость или независимость системы | 1 |
351 |
08 май 2014, 18:34 |
|
Линейная зависимость/независимость векторов
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
209 |
24 май 2019, 00:39 |
|
Проверить линейную зависимость или линейную независимость | 1 |
303 |
08 ноя 2016, 23:00 |
|
Независимость σ-алгебр
в форуме Теория вероятностей |
7 |
593 |
05 мар 2017, 23:52 |
|
Линейная независимость
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
208 |
08 мар 2018, 17:44 |
|
Установить независимость событий
в форуме Теория вероятностей |
3 |
393 |
24 окт 2015, 10:32 |
|
Задача на независимость событий
в форуме Теория вероятностей |
1 |
389 |
06 дек 2014, 20:15 |
|
Объединение событий и их независимость
в форуме Теория вероятностей |
4 |
107 |
04 май 2023, 17:27 |
|
Независимость случайных величин
в форуме Теория вероятностей |
0 |
164 |
23 сен 2018, 07:59 |
|
Проверить линейную независимость | 0 |
338 |
17 июн 2014, 22:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |