Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку
СообщениеДобавлено: 03 мар 2016, 21:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть f(x)=x^2sin(1/x) при x=/=0, f(0)=0. Применим к этой функции формулу Лагранжа на отрезке [0,x]:
x^2sin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))x, 0<c<x.
Сократим обе части на х при х=/=0:
xsin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))
Переходя к пределу при х->0, (очевидно, что при этом c->0) получаем:
lim cos(1/c)=0 при c->0, так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю.
Но предел cos(1/c) при стремлении аргумента к нулю не существует!
Где ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку
СообщениеДобавлено: 03 мар 2016, 22:22 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
famesyasd писал(а):

Пусть f(x)=x^2sin(1/x) при x=/=0, f(0)=0. Применим к этой функции формулу Лагранжа на отрезке [0,x]:
x^2sin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))x, 0<c<x.
Сократим обе части на х при х=/=0:
xsin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))
Переходя к пределу при х->0, (очевидно, что при этом c->0) получаем:
lim cos(1/c)=0 при c->0, так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю.
Но предел cos(1/c) при стремлении аргумента к нулю не существует!
Где ошибка?


Вообще забавно. Довольно завуалированная ошибка.
Если "на пальцах" и без глубоких подробностей, то можно так.
По определению lim cos(1/c)=0 при c->0 только если ПРИ ЛЮБОМ законе приближения с к нулю выражение cos(1/c) приближается к нулю. Из данного доказательства следует лишь то, что СУЩЕСТВУЕТ такой закон приближения с к нулю (этот закон приближения диктует формула Лагранжа), при котором cos(1/c) приближается к нулю. Это можно продемонстрировать наглядно, если обратиться к определению предела по Гейне.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку
СообщениеДобавлено: 03 мар 2016, 22:40 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
т.е. исходя из того что c(n)->0 для любой x(n)->0 cледует, что для всех таких последовательностей c(n) lim cos(1/c(n))=0, но из этого не следует, что для любой c(n) выполняется тоже самое, и поэтому нельзя утверждать что предел ноль, я правильно понял?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку
СообщениеДобавлено: 03 мар 2016, 22:47 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Примерно так. Последовательность c(n) формируется не произвольно, а по некоторому закону, определяемому формулой Лагранжа. То, что в формулировке теоремы Лагранжа говорится, что СУЩЕСТВУЕТ такое с, что.... соответствует тому, что СУЩЕСТВУЕТ некая последовательность с(n), для которой ....

А надо, чтобы это выполнялось ДЛЯ ЛЮБОЙ последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку
СообщениеДобавлено: 04 мар 2016, 23:09 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
famesyasd писал(а):
Переходя к пределу при х->0, (очевидно, что при этом c->0) получаем:
lim cos(1/c)=0 при c->0, так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю.

Ошибка появляется здесь, когда Вы безосновательно утверждаете, что [math]\lim_{c \to 0} \cos{\frac{ 1 }{ c } } = 0[/math], в то время как [math]\lim_{x \to 0} \cos{\frac{ 1 }{ c(x) } } = 0[/math], ведь [math]c[/math] — зависимая переменная, [math]c = c(x)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство того, что две кривые гомотопны

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

jellyho

1

104

25 дек 2023, 21:56

Найти ошибку

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

tanyhaftv

3

238

16 фев 2019, 23:37

Найти ошибку

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

NERFSD

2

335

08 ноя 2017, 19:49

Не могу найти ошибку

в форуме Дифференциальное исчисление

Veinar

10

661

20 апр 2014, 16:45

Найти ошибку в решении

в форуме Алгебра

Yabereza2603

4

281

20 янв 2019, 22:47

Найти ошибку в композиции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ZeGRyX

1

163

08 окт 2020, 13:25

Не могу найти ошибку

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Th1e4

1

323

24 дек 2016, 16:00

Помогите найти ошибку

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Danoldjar

2

451

24 сен 2015, 10:54

Несостыковка. не могу найти ошибку

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Vlasovn109

4

606

15 фев 2017, 22:06

Не могу найти ошибку в ДУ Бернулли

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AlexOblom

3

748

17 авг 2018, 19:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved