Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Светлана |
|
|
[math]f(x,y)=2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1,~q(x,y)=4x-2y+1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Светлана писал(а): Необходимо найти условный экстремум функции двух переменных z=f(x,y) при выполнении уравнения связи q(x,y) = 0. [math]f(x,y)=2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1,~q(x,y)=4x-2y+1[/math] Светлана, здесь просто надо выразить, например, y через x в уравнении связи и подставить в функции и искать уже глобальный экстремум функции одной переменной: Выразим y через x в уравнении связи [math]4x-2y+1=0~\Leftrightarrow~y=2x+\frac{1}{2}.[/math] Заменим в функции y на его выражение через x [math]f(x)=2x^2+4x\!\left(2x+\frac{1}{2}\right)+\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2-2x+2\!\left(2x+\frac{1}{2}\right)+1=[/math] [math]=2x^2+8x^2+2x+4{x^2}+2x+\frac{1}{4}-2x+4x+1+1=14x^2+6x+\frac{9}{4}.[/math] То есть получили параболу с положительным коэффициентом при квадрате икса. Следовательно, исходная функция z=f(x,y) при данном уравнении связи q(x,y)=0 имеет одну экстремальную точку, которая является минимумом. Теперь найдём глобальный минимум функции f(x): [math]\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\!\left(14x^2+6x+\frac{9}{4}\right)=28x+6=0~\Rightarrow~x=-\frac{6}{28}=-\frac{3}{14}.[/math] [math]\mathop{\min}\limits_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\mathop{\min}\limits_{x\in\mathbb{R}}\left(14x^2+6x+\frac{9}{4}\right)=14\left(-\frac{3}{14}\right)^2+6\!\left(-\frac{3}{14}\right)+\frac{9}{4}=[/math] [math]\frac{9}{14}+\frac{27}{28}=\frac{45}{28}.[/math] Значение y, при котором исходная функция достигает своего условного минимума, найдём из уравнения связи, так как значение x нам известно: [math]4\cdot\left(-\frac{3}{14}\right)-2y+1=0~\Leftrightarrow~2y=1-\frac{6}{7}~\Leftrightarrow~y=\frac{1}{14}[/math] Таким образом, окончательно имеем: [math]\mathop{\min}\limits_{q(x,y)=0}f(x,y)=\mathop{\min}\limits_{4x-2y+1=0}\Bigl(2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1\Bigl)=\frac{45}{28}[/math] в точке [math]f\left(-\frac{3}{14},\frac{1}{14}\right)[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Светлана |
|
|
вы чудо!!!спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |