Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти условный экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 14:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2010, 15:31
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо найти условный экстремум функции двух переменных z=f(x,y) при выполнении уравнения связи q(x,y) = 0.

[math]f(x,y)=2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1,~q(x,y)=4x-2y+1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 21 апр 2010, 17:11 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Светлана писал(а):
Необходимо найти условный экстремум функции двух переменных z=f(x,y) при выполнении уравнения связи q(x,y) = 0.

[math]f(x,y)=2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1,~q(x,y)=4x-2y+1[/math]

Светлана, здесь просто надо выразить, например, y через x в уравнении связи и подставить в функции и искать уже глобальный экстремум функции одной переменной:

Выразим y через x в уравнении связи [math]4x-2y+1=0~\Leftrightarrow~y=2x+\frac{1}{2}.[/math]

Заменим в функции y на его выражение через x

[math]f(x)=2x^2+4x\!\left(2x+\frac{1}{2}\right)+\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2-2x+2\!\left(2x+\frac{1}{2}\right)+1=[/math]

[math]=2x^2+8x^2+2x+4{x^2}+2x+\frac{1}{4}-2x+4x+1+1=14x^2+6x+\frac{9}{4}.[/math]

То есть получили параболу с положительным коэффициентом при квадрате икса. Следовательно, исходная функция z=f(x,y) при данном уравнении связи q(x,y)=0 имеет одну экстремальную точку, которая является минимумом.

Теперь найдём глобальный минимум функции f(x):

[math]\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\!\left(14x^2+6x+\frac{9}{4}\right)=28x+6=0~\Rightarrow~x=-\frac{6}{28}=-\frac{3}{14}.[/math]

[math]\mathop{\min}\limits_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\mathop{\min}\limits_{x\in\mathbb{R}}\left(14x^2+6x+\frac{9}{4}\right)=14\left(-\frac{3}{14}\right)^2+6\!\left(-\frac{3}{14}\right)+\frac{9}{4}=[/math] [math]\frac{9}{14}+\frac{27}{28}=\frac{45}{28}.[/math]

Значение y, при котором исходная функция достигает своего условного минимума, найдём из уравнения связи, так как значение x нам известно:

[math]4\cdot\left(-\frac{3}{14}\right)-2y+1=0~\Leftrightarrow~2y=1-\frac{6}{7}~\Leftrightarrow~y=\frac{1}{14}[/math]

Таким образом, окончательно имеем:

[math]\mathop{\min}\limits_{q(x,y)=0}f(x,y)=\mathop{\min}\limits_{4x-2y+1=0}\Bigl(2x^2+4xy+y^2-2x+2y+1\Bigl)=\frac{45}{28}[/math] в точке [math]f\left(-\frac{3}{14},\frac{1}{14}\right)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти условный экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 21 апр 2010, 20:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2010, 15:31
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вы чудо!!!спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

320

17 дек 2016, 19:02

Условный экстремум функции о двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MercuryOcean

6

473

01 дек 2016, 22:59

Задача на условный экстремум функции трех переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Yurievna

10

1117

17 мар 2018, 12:43

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Rea1l

0

494

31 мар 2014, 09:15

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

813

25 апр 2018, 15:21

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

ExtreMaLLlka

10

1269

23 май 2018, 09:17

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Gwen

5

218

27 ноя 2020, 12:13

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

4

318

09 мар 2020, 12:01

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ololo127001

0

179

18 дек 2016, 13:07

Найти условный экстремум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ainur

0

260

14 дек 2014, 19:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved