Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неограниченная Вторая Производная
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 00:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 20:14
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неограниченная Вторая Производная

Друзья, есть интересная задача: придумать такую функцию одной переменной вещественного аргумента что сама функция и её первая производная ограничены, а вот вторая производная - неограничена, предполагается что функция определена на всей вещественной прямой: [math]|f(x)|<C_1, |f'(x)|<C_2, f''(x)[/math] ограничить постоянной нельзя. [math]C_1, C_2[/math] - постоянные.

Я, в общем и целом наугад, перебрала несколько функций и всё неудачно: [math]\sin (x^2), \frac {1}{1+x^2}, 2^{\sin x}[/math] и т.д.

В процессе этого перебора появилась такая мысль - предположить что каким-то образом найденный переход "ограничена-неограничена" и есть искомое решение задачи - то есть как бы сдвинуть всё "влево" на один шаг. Например, взять функцию [math]\sin (x^2)[/math]. Её первая производная [math]2x\cos (x^2)[/math]. Допустим теперь что это и есть неограниченная вторая производная. Тогда сама функция - есть первая ограниченная производная. Значит остаётся найти такую функцию производная от которой и есть [math]\sin (x^2)[/math]. Но этот интеграл в элементарных функциях по-моему не существует.

Какие будут идеи?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неограниченная Вторая Производная
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 09:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4091
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Torus писал(а):
Но этот интеграл в элементарных функциях по-моему не существует.


Ну и что? Поскольку функция [math]\sin x^2[/math] непрерывна на [math]\mathbb{R}[/math], то ничто нам не мешает рассмотреть функцию

[math]f(x)=\int\limits_0^x\sin t^2\,dt[/math]

и утверждать, что она является первообразной функции [math]\sin x^2[/math] по основной теореме матанализа. Другое дело обосновать ограниченность функции [math]f(x)[/math]. Самым простым, на мой взгляд, будет замена [math]t=\sqrt z[/math] в интеграле и использование признака Дирихле сходимости несобственного интеграла [math]f(\infty)[/math]. Тогда [math]f(x)[/math] непрерывна на [math]\mathbb{R}[/math] и имеет конечные пределы на бесконечностях, значит она ограничена.

Можно рассмотреть пример попроще:

[math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}\frac{\sin x^2}x&,\ x\ne0 \\0&,\ x=0\end{aligned}\right.[/math]

Легко видеть, что эта функция бесконечно дифференцируема на [math]\mathbb{R}[/math] (действительно, при [math]x\ne0[/math] она элементарна, а в точке [math]x=0[/math] представляется сходящимся рядом Тейлора). Непосредственным дифференцированием легко убедиться, что её первая производная ограничена, а вторая неограничена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Torus
 Заголовок сообщения: Re: Неограниченная Вторая Производная
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 17:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 20:14
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Потопталась вокруг лёгкого решения - и ушла от него (как всегда).
Хорошая идея - поделить на икс, всё верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вторая производная

в форуме Дифференциальное исчисление

allc

1

131

27 окт 2014, 18:47

Вторая производная

в форуме Дифференциальное исчисление

BuTbKa

1

201

07 янв 2014, 23:03

Вторая производная по 2-м переменным

в форуме Дифференциальное исчисление

wowanjke

1

188

29 май 2016, 23:47

первая и вторая производная

в форуме Дифференциальное исчисление

nastasya

1

289

01 апр 2012, 11:34

Вторая производная от неявной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

351w

7

243

04 ноя 2017, 20:32

Правильно ли найдена вторая производная?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

sennikovb

3

354

16 фев 2013, 12:32

Вторая производная по y от сложной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

DeusEx

0

205

18 май 2014, 18:04

Вторая производная функции и выпуклость и впуклость

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Rustam

3

646

09 окт 2011, 01:48

Вторая производная функции, заданной параметрически

в форуме Дифференциальное исчисление

lindsay15

1

1940

10 ноя 2010, 18:12

Доказать, что вторая производная функции положительна

в форуме Дифференциальное исчисление

CJIOHUK

6

153

12 дек 2019, 19:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved