Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 14:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2015, 00:59
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Читаю учебник по высшей математики, смотрю описание дифференциал и не могу понять. Дифференциал независимого переменного считается его приращением. Но если мы умножим производную на приращение переменного, мы должны получить приращение функции. В книги утверждают, что дифференциал и приращение функции не равны (и я им верю), но понять не могу. Что я делаю не так?
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 15:18 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
E-Loki, посмотрите на рис. 21 здесь: http://edu.alnam.ru/book_math_al_1.php?id=30 и прочитайте комментарий к нему.

Пример. Пусть [math]f(x)=x^2,~x_0=2,~\Delta x=0,1.[/math] Тогда [math]f(x_0)=2^2=4,~f(x_0+\Delta x)=(2,1)^2=4,41,[/math] [math]\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=4,41-4=0,41,[/math] [math]f'(x)=2x,[/math] [math]f'(x_0)=4,[/math] [math]\operatorname{d}f=f'(x_0)\Delta x=4\cdot 0,1=0,4.[/math] То есть приращение функции [math]\Delta f=0,41,[/math] а её дифференциал [math]\operatorname{d}f=0,4.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 17:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2015, 00:59
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Да, я это понимаю. Но если мы будем также приближенно вычислять производную? - У нас дифференциал и приращение независимого переменного взаимно уничтожается. Или так размышлять нельзя?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 17:51 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
E-Loki писал(а):
Andy
Да, я это понимаю. Но если мы будем также приближенно вычислять производную? - У нас дифференциал и приращение независимого переменного взаимно уничтожается. Или так размышлять нельзя?

E-Loki, я не понимаю, как дифференциал и приращение независимого переменного "взаимно уничтожаются", если приближённо вычислять производную. Можете привести пример?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 18:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2015, 00:59
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy

Изображение

Получается приращение функции равно ее дифференциалу.


Последний раз редактировалось E-Loki 02 авг 2015, 18:13, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 18:13 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
E-Loki, [math]f'(3)=2\cdot 3=6.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 18:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2015, 00:59
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy


Да, я знаю. Но если я буду производную вычислять численно (по определению)? - Например, если я не смогу функции представить в аналитическом виде. В примере выше я вычислил производную приближенно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 18:24 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
E-Loki, при [math]\Delta x\to 0[/math] имеем
[math]\frac{\left(x+\Delta x\right)^2-x^2}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^2}{\Delta x}=2x+\Delta x\to 2x.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июл 2015, 00:59
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy

Я наверное плохо изъяснился.

Смотрите, производную можно определить как отношение двух дифференциалов: f'(x) = dy/dx. Если мы вычислим dy функции икс в квадрате при дельта-икс равной 0.1 в точке 3, получим dy = 0,61; а отношение dy/dx = 6,1.

Я к чему это. Например у нас есть функции задано таблично. И например она определена на промежутке [a; b] с интервалом в 0,1. Мы можем вычислить производную приближенно, взяв за приращение аргумента 0,1. Но если мы будем вычислять дифференциал этой функции - он будет такой же, как и приращение.

Я так понимаю, что дифференциал всегда вычисляется приближенно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциал функции. Какое отличие от приращения функции?
СообщениеДобавлено: 02 авг 2015, 20:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
E-Loki писал(а):
если мы умножим производную на приращение переменного, мы должны получить приращение функции.

Согласно ли это утверждение с определением приращения функции?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 25 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе

в форуме Дифференциальное исчисление

jdex

3

595

04 мар 2017, 20:07

Производная функции. Дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Efremov_Misha

17

733

12 мар 2019, 17:22

Дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

morozoff

3

603

22 окт 2018, 22:45

Дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

CookKostia

6

264

28 сен 2019, 20:35

Дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

kare

5

326

12 июн 2019, 21:29

Дифференциал функции

в форуме Дифференциальное исчисление

cincinat

1

265

14 фев 2017, 23:22

Полный дифференциал функции

в форуме Интегральное исчисление

Aandrew

6

317

26 май 2022, 20:18

Дифференциал неявной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Arno

7

720

06 мар 2015, 18:06

Полный дифференциал функции

в форуме Интегральное исчисление

Kaori

6

242

19 май 2020, 11:41

Дифференциал функции 2-х переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Mencer

1

359

20 янв 2015, 22:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved