Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
germ9c |
|
|
[math]U|R=1 =sin^6 \varphi + cos^6 \varphi[/math] Мое решение: упростим [math]sin^6 \varphi + cos^6 \varphi =...= \frac{5+3cos4(\varphi )}{8}[/math] Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда [math]U(r,\varphi )= C +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}(A_n cosn\varphi +B_n sinn\varphi)[/math] где [math]A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}cosn\psi d\psi[/math] [math]C=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}d\psi[/math] [math]B_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}sinn\psi d\psi[/math] Получим [math]C= \frac{5}{8}[/math] [math]A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}cosn\psi d\psi =\frac{1}{\pi}( \frac{5}{8n}sinn\psi | + \frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}cos4\psi cosn\psi d\psi) = \frac{3}{8\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(cos\psi(4-n) +cos\psi(4+n)) d\psi = \frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}sin\psi(4-n) + \frac{1}{4+n}sin\psi (4+n)) |[/math] [math]B_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}sinn\psi d\psi=\frac{1}{\pi}(-\frac{5}{8n}cosn\psi | +\frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(sin\psi(4-n) + sin\psi(4+n))d\psi = \frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}(-cos\psi(4-n)) -\frac{1}{4+n}(cos\psi(4+n))) |[/math] дальше как решить это задание? Я так и не нашел [math]A_n[/math] и [math]B_n[/math] нужно рассматривать все случаи для [math]n[/math], но или я где-то ошибся, получается все[math]A1...An =0 B1...Bn=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
germ9c |
|
|
все еще нуждаюсь в вашей помощи
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Я не понимаю Вашей проблемы. Вы правильно нашли граничное значение
[math]f\left( \varphi \right) = \frac{5}{8}+ \frac{3}{8}\cos 4\varphi[/math] Это и есть ряд Фурье для [math]f\left( \varphi \right)[/math]. Поэтому [math]C = \frac{5}{8}[/math], [math]{A_4}= \frac{3}{8}[/math] Остальные коэффициенты равны нулю. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: germ9c |
||
germ9c |
|
|
Prokop
подскажите, как решается задание такого вида Найти решение уравнения Пуассона [math]\Delta U=-Axy[/math] [math](A=const)[/math] в круге радиуса R с центром в начале координат, если [math]U|r=R =0[/math] Решение перейдем к полярной системе координат, получаем задачу: [math]\rho^2 U_{\rho\rho} +\rho U_{\rho} + U_{ \varphi \varphi} =-\frac{1}{2} \rho^4 sin2\varphi[/math] как пришли к этой записи? распишите пожалуйста |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Вы же сами написали, что уравнение записано в полярных координатах.
|
||
Вернуться к началу | ||
germ9c |
|
|
Prokop
а как получили это уравнение? ну сделали замену [math]x=\rho^2 sin\varphi[/math] [math]y=\rho^2 cos\varphi[/math] что-то не получается все равно привести к тому, что получили |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Полярные координаты "немного" другие. Вывод можно найти немного "погулив", разыскивая сведения про уравнения Лапласа или Пуассона.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: germ9c |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Физика
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
508 |
14 апр 2016, 23:14 |
|
Физика
в форуме Механика |
0 |
533 |
16 дек 2014, 12:07 |
|
Физика
в форуме Механика |
0 |
826 |
09 дек 2014, 03:27 |
|
Физика
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
187 |
16 май 2021, 09:06 |
|
Физика
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
256 |
15 май 2021, 19:02 |
|
Физика
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
147 |
16 май 2021, 09:21 |
|
Физика
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
149 |
16 май 2021, 12:49 |
|
физика
в форуме Электричество и Магнетизм |
4 |
158 |
14 ноя 2022, 08:48 |
|
Физика.МКТ
в форуме Молекулярная физика и Термодинамика |
1 |
188 |
13 янв 2022, 15:59 |
|
Физика
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
313 |
14 апр 2016, 23:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |