Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 21 мар 2015, 12:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 дек 2014, 11:07
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга, такую что
[math]U|R=1 =sin^6 \varphi + cos^6 \varphi[/math]

Мое решение:
упростим [math]sin^6 \varphi + cos^6 \varphi =...= \frac{5+3cos4(\varphi )}{8}[/math]
Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда
[math]U(r,\varphi )= C +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}(A_n cosn\varphi +B_n sinn\varphi)[/math]
где [math]A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}cosn\psi d\psi[/math]
[math]C=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}d\psi[/math]
[math]B_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}sinn\psi d\psi[/math]


Получим [math]C= \frac{5}{8}[/math]
[math]A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}cosn\psi d\psi =\frac{1}{\pi}( \frac{5}{8n}sinn\psi | + \frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}cos4\psi cosn\psi d\psi) = \frac{3}{8\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(cos\psi(4-n) +cos\psi(4+n)) d\psi = \frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}sin\psi(4-n) + \frac{1}{4+n}sin\psi (4+n)) |[/math]
[math]B_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3cos4(\psi )}{8}sinn\psi d\psi=\frac{1}{\pi}(-\frac{5}{8n}cosn\psi | +\frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(sin\psi(4-n) + sin\psi(4+n))d\psi = \frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}(-cos\psi(4-n)) -\frac{1}{4+n}(cos\psi(4+n))) |[/math]
дальше как решить это задание?
Я так и не нашел [math]A_n[/math] и [math]B_n[/math]
нужно рассматривать все случаи для [math]n[/math], но или я где-то ошибся, получается все[math]A1...An =0 B1...Bn=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 14:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 дек 2014, 11:07
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
все еще нуждаюсь в вашей помощи

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 17:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не понимаю Вашей проблемы. Вы правильно нашли граничное значение
[math]f\left( \varphi \right) = \frac{5}{8}+ \frac{3}{8}\cos 4\varphi[/math]
Это и есть ряд Фурье для [math]f\left( \varphi \right)[/math].
Поэтому
[math]C = \frac{5}{8}[/math], [math]{A_4}= \frac{3}{8}[/math]
Остальные коэффициенты равны нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
germ9c
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 18:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 дек 2014, 11:07
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
подскажите, как решается задание такого вида
Найти решение уравнения Пуассона
[math]\Delta U=-Axy[/math] [math](A=const)[/math]
в круге радиуса R с центром в начале координат, если [math]U|r=R =0[/math]
Решение
перейдем к полярной системе координат, получаем задачу:
[math]\rho^2 U_{\rho\rho} +\rho U_{\rho} + U_{ \varphi \varphi} =-\frac{1}{2} \rho^4 sin2\varphi[/math]
как пришли к этой записи? распишите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 19:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы же сами написали, что уравнение записано в полярных координатах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 19:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 дек 2014, 11:07
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
а как получили это уравнение? ну сделали замену [math]x=\rho^2 sin\varphi[/math]
[math]y=\rho^2 cos\varphi[/math]
что-то не получается все равно привести к тому, что получили

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мат. физика
СообщениеДобавлено: 22 мар 2015, 20:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Полярные координаты "немного" другие. Вывод можно найти немного "погулив", разыскивая сведения про уравнения Лапласа или Пуассона.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
germ9c
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Физика

в форуме Электричество и Магнетизм

DIANA_LOG

1

508

14 апр 2016, 23:14

Физика

в форуме Механика

ANASTASIA9999

0

533

16 дек 2014, 12:07

Физика

в форуме Механика

Jenny576

0

826

09 дек 2014, 03:27

Физика

в форуме Интегральное исчисление

kim-5-plus

1

187

16 май 2021, 09:06

Физика

в форуме Интегральное исчисление

kim-5-plus

5

256

15 май 2021, 19:02

Физика

в форуме Интегральное исчисление

kim-5-plus

1

147

16 май 2021, 09:21

Физика

в форуме Интегральное исчисление

kim-5-plus

1

148

16 май 2021, 12:49

физика

в форуме Электричество и Магнетизм

ythoma21

4

158

14 ноя 2022, 08:48

Физика.МКТ

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

kt20835

1

188

13 янв 2022, 15:59

Физика

в форуме Электричество и Магнетизм

DIANA_LOG

1

313

14 апр 2016, 23:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved