| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=38095 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | lllulll [ 02 янв 2015, 10:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача |
Помогите пожалуйста вновь с задачей. Задача: Среди всех четырехугольников с заданными сторонами найти такой, площадь которого наибольшая. Подтолкните на решение данной задачи. |
|
| Автор: | Andy [ 02 янв 2015, 11:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
lllulll, посмотрите этот документ: http://yandex.by/clck/jsredir?from=yand ... 8737429169, обратите внимание на упражнение 23. |
|
| Автор: | Avgust [ 02 янв 2015, 20:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Задачу решил. Возможно, что правильно. Сначала рисунок. Его загрузить не имею возможности, объясню словами. Стороны четырехугольника обозначаю против часовой стрелки: a, b, c, d. Между сторонами a и b а также между сторонами c и d проходит диагональ D. Угол A находится между сторонaми a и d , а угол B -между сторонами b и c. Теперь запишем значение площади четырехугольника: [math]S=\frac 12 a\, d \, \sin \, A + \frac 12 b \, c \, \sin \, B[/math] Эту площадь нужно максимизировать. По теореме косинусов: [math]D=a^2+d^2-2 \, a \, d \, \cos \, A[/math] [math]D=b^2+c^2-2\, b \, c \, \cos \, B[/math] Приравнивая эти выражения, получим: [math]\cos \, B= \frac {b^2+c^2-a^2-d^2+2\,a\,d\,\cos \, A}{2 \, b\, c}[/math] Тогда [math]\sin \, B =\sqrt{1- \cos^2 \, B}[/math] Если все это подставить в S , взять производную, приравнять нулю (ну, очень громозко), то получим: [math]\cos \, A =\frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d + b\, c)}[/math] [math]\cos \, B = - \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d+b\,c)}[/math] Если выразить эти углы через арккосинусы и подставить в уравнение для S , то получим максимальную площадь: [math]S_{max}=\frac 12 (a\,d+b\,c) \sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(a\,d+b\,c)^2}}[/math] |
|
| Автор: | lllulll [ 03 янв 2015, 10:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Avgust, мы производную берем относительно угла А??? |
|
| Автор: | Avgust [ 03 янв 2015, 14:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Да, относительно этого угла. К сожалению никак свои формулы не увидел. Но наверное по латексу разобраться можно. Я проверял на конкретном примере. Все совпало. Задача оказалась очень интересной, но сложной. Неужели студентам такое дают? |
|
| Автор: | lllulll [ 03 янв 2015, 17:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Правильно я понимаю? От этого выражения мне нужно находить производную? |
|
| Автор: | Avgust [ 04 янв 2015, 13:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Да, именно так. Я бы написал производную, но ЛатеХ не работает. Выражение громоздкое, с решением изрядно помучился. То есть с нахождением углов A и B. Меня очень удивило, что в оптимальном случае cos( B ) = cos( -A ) Смущает меня вот что. Я принял конкретную последовательность сторон a, b, c, d. Не исключаю, что при иной последовательности максимум прощади будет иным. То есть в задаче будет присутствовать уже глобальный максимум. Мне кажется, что мой коллега vvvv на компьютере такое и получил. Если принять a=3 ; b=2 ; c=5 ; d=4 то S(max)=10.95... На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть... Нет! Формула универсальная. Как ни меняю стороны, везде ответ 10.95... Так что решение верное и максимальное. |
|
| Автор: | Avgust [ 04 янв 2015, 15:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Ой, наврал: надо cos(B)=-cos(A) |
|
| Автор: | vvvv [ 04 янв 2015, 16:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача |
Цитата: На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть... Так это максимумы площадей каждого треугольника, на которые разбит четырехугольник
|
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|