Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=38095
Страница 1 из 3

Автор:  lllulll [ 02 янв 2015, 10:54 ]
Заголовок сообщения:  Задача

Помогите пожалуйста вновь с задачей.
Задача: Среди всех четырехугольников с заданными сторонами найти такой, площадь которого наибольшая.
Подтолкните на решение данной задачи.

Автор:  Andy [ 02 янв 2015, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

lllulll, посмотрите этот документ: http://yandex.by/clck/jsredir?from=yand ... 8737429169, обратите внимание на упражнение 23.

Автор:  Avgust [ 02 янв 2015, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Задачу решил. Возможно, что правильно.
Сначала рисунок. Его загрузить не имею возможности, объясню словами. Стороны четырехугольника обозначаю против часовой стрелки: a, b, c, d. Между сторонами a и b а также между сторонами c и d проходит диагональ D. Угол A находится между сторонaми a и d , а угол B -между сторонами b и c.
Теперь запишем значение площади четырехугольника:

[math]S=\frac 12 a\, d \, \sin \, A + \frac 12 b \, c \, \sin \, B[/math]

Эту площадь нужно максимизировать.

По теореме косинусов:

[math]D=a^2+d^2-2 \, a \, d \, \cos \, A[/math]

[math]D=b^2+c^2-2\, b \, c \, \cos \, B[/math]

Приравнивая эти выражения, получим:

[math]\cos \, B= \frac {b^2+c^2-a^2-d^2+2\,a\,d\,\cos \, A}{2 \, b\, c}[/math]

Тогда [math]\sin \, B =\sqrt{1- \cos^2 \, B}[/math]

Если все это подставить в S , взять производную, приравнять нулю (ну, очень громозко), то получим:

[math]\cos \, A =\frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d + b\, c)}[/math]

[math]\cos \, B = - \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d+b\,c)}[/math]

Если выразить эти углы через арккосинусы и подставить в уравнение для S , то получим максимальную площадь:

[math]S_{max}=\frac 12 (a\,d+b\,c) \sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(a\,d+b\,c)^2}}[/math]

Автор:  vvvv [ 02 янв 2015, 23:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Я решал так.
Разбил четырехугольник на два треугольника.
Общую сторону обозначил через х.
К обеим треугольникам применил формулу Герона.
Рассмотрел сумму площадей треугольников как функцию от х.
Исследовал функцию на экстремум.
Результат таков.
Максимальная площадь получится тогда, когда вокруг четырехугольника можно описать окружность.
И вычисляется эта площадь по известной формуле Брахмагупты (формула Герона-ее частный случай)
Изображение

Автор:  lllulll [ 03 янв 2015, 10:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Avgust, мы производную берем относительно угла А???

Автор:  Avgust [ 03 янв 2015, 14:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Да, относительно этого угла. К сожалению никак свои формулы не увидел. Но наверное по латексу разобраться можно. Я проверял на конкретном примере. Все совпало. Задача оказалась очень интересной, но сложной. Неужели студентам такое дают?

Автор:  lllulll [ 03 янв 2015, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Правильно я понимаю? От этого выражения мне нужно находить производную?
Изображение

Автор:  Avgust [ 04 янв 2015, 13:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Да, именно так. Я бы написал производную, но ЛатеХ не работает. Выражение громоздкое, с решением изрядно помучился. То есть с нахождением углов A и B. Меня очень удивило, что в оптимальном случае
cos( B ) = cos( -A )
Смущает меня вот что. Я принял конкретную последовательность сторон a, b, c, d. Не исключаю, что при иной последовательности максимум прощади будет иным. То есть в задаче будет присутствовать уже глобальный максимум. Мне кажется, что мой коллега vvvv на компьютере такое и получил.
Если принять a=3 ; b=2 ; c=5 ; d=4 то S(max)=10.95...
На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть...
Нет! Формула универсальная. Как ни меняю стороны, везде ответ 10.95... Так что решение верное и максимальное.

Автор:  Avgust [ 04 янв 2015, 15:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Ой, наврал: надо cos(B)=-cos(A)

Автор:  vvvv [ 04 янв 2015, 16:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача

Цитата:
На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть...

Так это максимумы площадей каждого треугольника, на которые разбит четырехугольник :)

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/