Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 28 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| lllulll |
|
||
|
Задача: Среди всех четырехугольников с заданными сторонами найти такой, площадь которого наибольшая. Подтолкните на решение данной задачи. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
||
|
lllulll, посмотрите этот документ: http://yandex.by/clck/jsredir?from=yand ... 8737429169, обратите внимание на упражнение 23.
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Uncle Fedor |
|||
| Avgust |
|
||
|
Задачу решил. Возможно, что правильно.
Сначала рисунок. Его загрузить не имею возможности, объясню словами. Стороны четырехугольника обозначаю против часовой стрелки: a, b, c, d. Между сторонами a и b а также между сторонами c и d проходит диагональ D. Угол A находится между сторонaми a и d , а угол B -между сторонами b и c. Теперь запишем значение площади четырехугольника: [math]S=\frac 12 a\, d \, \sin \, A + \frac 12 b \, c \, \sin \, B[/math] Эту площадь нужно максимизировать. По теореме косинусов: [math]D=a^2+d^2-2 \, a \, d \, \cos \, A[/math] [math]D=b^2+c^2-2\, b \, c \, \cos \, B[/math] Приравнивая эти выражения, получим: [math]\cos \, B= \frac {b^2+c^2-a^2-d^2+2\,a\,d\,\cos \, A}{2 \, b\, c}[/math] Тогда [math]\sin \, B =\sqrt{1- \cos^2 \, B}[/math] Если все это подставить в S , взять производную, приравнять нулю (ну, очень громозко), то получим: [math]\cos \, A =\frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d + b\, c)}[/math] [math]\cos \, B = - \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d+b\,c)}[/math] Если выразить эти углы через арккосинусы и подставить в уравнение для S , то получим максимальную площадь: [math]S_{max}=\frac 12 (a\,d+b\,c) \sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(a\,d+b\,c)^2}}[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| vvvv |
|
||
|
Я решал так.
Разбил четырехугольник на два треугольника. Общую сторону обозначил через х. К обеим треугольникам применил формулу Герона. Рассмотрел сумму площадей треугольников как функцию от х. Исследовал функцию на экстремум. Результат таков. Максимальная площадь получится тогда, когда вокруг четырехугольника можно описать окружность. И вычисляется эта площадь по известной формуле Брахмагупты (формула Герона-ее частный случай) |
|||
| Вернуться к началу | |||
| lllulll |
|
|
|
Avgust, мы производную берем относительно угла А???
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
||
|
Да, относительно этого угла. К сожалению никак свои формулы не увидел. Но наверное по латексу разобраться можно. Я проверял на конкретном примере. Все совпало. Задача оказалась очень интересной, но сложной. Неужели студентам такое дают?
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| lllulll |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
||
|
Да, именно так. Я бы написал производную, но ЛатеХ не работает. Выражение громоздкое, с решением изрядно помучился. То есть с нахождением углов A и B. Меня очень удивило, что в оптимальном случае
cos( B ) = cos( -A ) Смущает меня вот что. Я принял конкретную последовательность сторон a, b, c, d. Не исключаю, что при иной последовательности максимум прощади будет иным. То есть в задаче будет присутствовать уже глобальный максимум. Мне кажется, что мой коллега vvvv на компьютере такое и получил. Если принять a=3 ; b=2 ; c=5 ; d=4 то S(max)=10.95... На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть... Нет! Формула универсальная. Как ни меняю стороны, везде ответ 10.95... Так что решение верное и максимальное. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Avgust |
|
||
|
Ой, наврал: надо cos(B)=-cos(A)
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| vvvv |
|
||
|
Цитата: На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть... Так это максимумы площадей каждого треугольника, на которые разбит четырехугольник ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 28 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку
в форуме Теория вероятностей |
6 |
632 |
02 окт 2021, 01:43 |
|
|
Задача на построение. Корректна ли задача?
в форуме Геометрия |
9 |
771 |
19 июл 2020, 19:17 |
|
|
Задача
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
318 |
13 июн 2015, 07:39 |
|
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
1 |
302 |
31 май 2015, 21:35 |
|
|
Задача №14 ЕГЭ
в форуме Геометрия |
8 |
302 |
02 июн 2020, 08:11 |
|
|
Задача
в форуме Геометрия |
3 |
228 |
08 апр 2017, 12:57 |
|
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
3 |
403 |
30 май 2015, 23:50 |
|
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
4 |
347 |
30 май 2015, 22:44 |
|
|
Задача по ТВ
в форуме Теория вероятностей |
1 |
349 |
15 ноя 2016, 21:39 |
|
|
Задача
в форуме Геометрия |
1 |
278 |
22 мар 2022, 13:25 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |