Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача
СообщениеДобавлено: 02 янв 2015, 11:54 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста вновь с задачей.
Задача: Среди всех четырехугольников с заданными сторонами найти такой, площадь которого наибольшая.
Подтолкните на решение данной задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 02 янв 2015, 12:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15227
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lllulll, посмотрите этот документ: http://yandex.by/clck/jsredir?from=yand ... 8737429169, обратите внимание на упражнение 23.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 02 янв 2015, 21:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10184
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3104 раз в 2706 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задачу решил. Возможно, что правильно.
Сначала рисунок. Его загрузить не имею возможности, объясню словами. Стороны четырехугольника обозначаю против часовой стрелки: a, b, c, d. Между сторонами a и b а также между сторонами c и d проходит диагональ D. Угол A находится между сторонaми a и d , а угол B -между сторонами b и c.
Теперь запишем значение площади четырехугольника:

[math]S=\frac 12 a\, d \, \sin \, A + \frac 12 b \, c \, \sin \, B[/math]

Эту площадь нужно максимизировать.

По теореме косинусов:

[math]D=a^2+d^2-2 \, a \, d \, \cos \, A[/math]

[math]D=b^2+c^2-2\, b \, c \, \cos \, B[/math]

Приравнивая эти выражения, получим:

[math]\cos \, B= \frac {b^2+c^2-a^2-d^2+2\,a\,d\,\cos \, A}{2 \, b\, c}[/math]

Тогда [math]\sin \, B =\sqrt{1- \cos^2 \, B}[/math]

Если все это подставить в S , взять производную, приравнять нулю (ну, очень громозко), то получим:

[math]\cos \, A =\frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d + b\, c)}[/math]

[math]\cos \, B = - \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(a\,d+b\,c)}[/math]

Если выразить эти углы через арккосинусы и подставить в уравнение для S , то получим максимальную площадь:

[math]S_{max}=\frac 12 (a\,d+b\,c) \sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(a\,d+b\,c)^2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 03 янв 2015, 00:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2621
Cпасибо сказано: 171
Спасибо получено:
837 раз в 712 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решал так.
Разбил четырехугольник на два треугольника.
Общую сторону обозначил через х.
К обеим треугольникам применил формулу Герона.
Рассмотрел сумму площадей треугольников как функцию от х.
Исследовал функцию на экстремум.
Результат таков.
Максимальная площадь получится тогда, когда вокруг четырехугольника можно описать окружность.
И вычисляется эта площадь по известной формуле Брахмагупты (формула Герона-ее частный случай)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 03 янв 2015, 11:54 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, мы производную берем относительно угла А???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 03 янв 2015, 15:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10184
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3104 раз в 2706 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, относительно этого угла. К сожалению никак свои формулы не увидел. Но наверное по латексу разобраться можно. Я проверял на конкретном примере. Все совпало. Задача оказалась очень интересной, но сложной. Неужели студентам такое дают?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 03 янв 2015, 18:38 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно я понимаю? От этого выражения мне нужно находить производную?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 04 янв 2015, 14:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10184
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3104 раз в 2706 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, именно так. Я бы написал производную, но ЛатеХ не работает. Выражение громоздкое, с решением изрядно помучился. То есть с нахождением углов A и B. Меня очень удивило, что в оптимальном случае
cos( B ) = cos( -A )
Смущает меня вот что. Я принял конкретную последовательность сторон a, b, c, d. Не исключаю, что при иной последовательности максимум прощади будет иным. То есть в задаче будет присутствовать уже глобальный максимум. Мне кажется, что мой коллега vvvv на компьютере такое и получил.
Если принять a=3 ; b=2 ; c=5 ; d=4 то S(max)=10.95...
На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть...
Нет! Формула универсальная. Как ни меняю стороны, везде ответ 10.95... Так что решение верное и максимальное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 04 янв 2015, 16:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10184
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3104 раз в 2706 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, наврал: надо cos(B)=-cos(A)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 04 янв 2015, 17:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2621
Cпасибо сказано: 171
Спасибо получено:
837 раз в 712 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
На графике у vvvv такой максимум вроде имеется. И он вроде бы глобальный. Но у него какие-то другие максимумы есть...

Так это максимумы площадей каждого треугольника, на которые разбит четырехугольник :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача №5

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

22

601

21 авг 2016, 13:09

Задача

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Owl1337

1

155

27 ноя 2014, 16:05

Задача

в форуме Теория вероятностей

Timon41ra

11

734

24 сен 2013, 21:21

Задача

в форуме Теория вероятностей

jdit000

5

173

08 окт 2014, 21:23

Задача

в форуме Теория вероятностей

jdit000

1

138

08 окт 2014, 19:12

Задача

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kayafirsh

0

164

18 июн 2015, 16:40

Задача №16

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

3

140

21 мар 2017, 05:54

ЗАдача

в форуме Объявления участников Форума

stil_list9393

0

167

25 дек 2014, 16:36

Задача

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Luna

1

135

13 июн 2015, 08:39

Задача №1

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

200

09 июн 2016, 12:25


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ellipsoid и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved