Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
lllulll |
|
||
Задача: Через точку М, лежащую внутри данного угла, провести прямую так, чтобы она отсекла от угла треугольника наименьшей площади. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Это широко известная задача. Обозначим вершин данного угла буквой [math]A[/math]. Постройте параллелограмм с вершиной в углу [math]A[/math] так, чтобы точка [math]M[/math] была бы точкой пересечения его диагоналей. Тогда [math]AM[/math] будет половиной одной тз диагоналей, а вторая диагональ отсечёт от угла треугольник наименьшей площади.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Avgust |
|
||
Я сделал аналитически так. Начало координат поместил в вершине угла А. Нижний луч угла - это [math]y=0[/math], верхний луч: [math]y=ax[/math]. Координаты точки [math]M(x_M, y_M )[/math].
Сторона треугольника, проходящая через точку М выразится линией [math]y=\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x +c[/math] Тогда площадь треугольника [math]S=\frac{x_M \, c^2}{2}\bigg ( \frac{1}{y_M-a\,x_M -c}-\frac {1}{y_M-c}\bigg )[/math] Производная по [math]c[/math] очень громоздкая. Пишу числитель, приравненный нулю: [math]a\, x_M^2\,c \bigg [ c (a\, x_M-2y_M)+2y_M^2-2a\,x_M \, y_M\bigg ]=0[/math] Ненулевое решение: [math]c=2 \,\frac{a\,x_M\,y_M-y_M^2}{a\,x_M-2\,y_M}[/math] Если это значение [math]c[/math] подставить в [math]S[/math], то это и будет минимальная площадь. |
|||
Вернуться к началу | |||
Avgust |
|
||
Сегодня с утра подставил и получил красивую формулу:
[math]S_{min}=2\,y_M\, \left ( x_M-\frac{y_M}{a}\right )[/math] Интересно: совпадает ли это с геометрией Prokop ? |
|||
Вернуться к началу | |||
lllulll |
|
|
Извините, но объясните пожалуйста, как вы выразили сторону треугольника?
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
||
Это очень просто. Пусть эта сторона имеет вид
[math]y=bx+c[/math] Так как точка M принадлежит этой прямой, то можно записать: [math]y_{M}=b x_{M}+c[/math] Откуда [math]b=\frac{y_{M}-c}{x_{M}}[/math] Подставим в первое уравнение и получим то, о чем Вы спрашиваете. |
|||
Вернуться к началу | |||
lllulll |
|
|
Можно ещё узнать, площадь по какой формуле вы искали?
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
||
Площадь так. Сначала нашел пересечение двух прямых: первая, о которой мы только что говорили , и вторая - это луч [math]y=a\,x[/math]. То есть пишем
[math]\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x+c=a\,x[/math] Отсюда определяем [math]x=x_K[/math], где K - верхняя вершина треугольника, то есть [math]x_K=\frac{c}{a-\frac{y_M-c}{x_M}}[/math] Высота треугольника [math]y_K=a\,x_K[/math] Итак, высоту треугольника нашли. Теперь надо найти основание треугольника, то есть абсциссу пересечения прямой, о которой мы говорили, с лучем y=0. Пусть это будет точка B. Тогда [math]\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x_B+c=0[/math] Отсюда легко найдем [math]x_B[/math], то есть длину основания. [math]x_B=\frac{c}{\frac{c-y_M}{x_M}}[/math] Площадь треугольника [math]S=\frac{1}{2} y_K \, x_B[/math] Если все это проделать и упростить, то получится формула, что я привел в первом посте. |
|||
Вернуться к началу | |||
lllulll |
|
|
Avgust, а вы случайно не ошиблись, когда находили производную???
|
||
Вернуться к началу | ||
lllulll |
|
|
Все, разобралась
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку
в форуме Теория вероятностей |
6 |
484 |
02 окт 2021, 01:43 |
|
Задача на построение. Корректна ли задача?
в форуме Геометрия |
9 |
663 |
19 июл 2020, 19:17 |
|
Задача ТВР
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
795 |
25 янв 2017, 05:18 |
|
Задача
в форуме Алгебра |
1 |
532 |
24 ноя 2014, 21:18 |
|
Задача
в форуме Механика |
3 |
609 |
24 ноя 2014, 18:19 |
|
Задача №15 | 8 |
1197 |
02 мар 2017, 14:45 |
|
Задача | 1 |
327 |
21 ноя 2014, 23:27 |
|
Задача по ТВ
в форуме Теория вероятностей |
3 |
734 |
04 фев 2019, 16:45 |
|
Задача по ТВ
в форуме Теория вероятностей |
1 |
398 |
03 фев 2019, 20:59 |
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
3 |
529 |
03 мар 2017, 14:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |