Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача
СообщениеДобавлено: 24 дек 2014, 21:21 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста решить данную задачу. Дайте наставления.
Задача: Через точку М, лежащую внутри данного угла, провести прямую так, чтобы она отсекла от угла треугольника наименьшей площади.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 24 дек 2014, 23:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это широко известная задача. Обозначим вершин данного угла буквой [math]A[/math]. Постройте параллелограмм с вершиной в углу [math]A[/math] так, чтобы точка [math]M[/math] была бы точкой пересечения его диагоналей. Тогда [math]AM[/math] будет половиной одной тз диагоналей, а вторая диагональ отсечёт от угла треугольник наименьшей площади.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 01:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10000
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я сделал аналитически так. Начало координат поместил в вершине угла А. Нижний луч угла - это [math]y=0[/math], верхний луч: [math]y=ax[/math]. Координаты точки [math]M(x_M, y_M )[/math].
Сторона треугольника, проходящая через точку М выразится линией

[math]y=\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x +c[/math]

Тогда площадь треугольника

[math]S=\frac{x_M \, c^2}{2}\bigg ( \frac{1}{y_M-a\,x_M -c}-\frac {1}{y_M-c}\bigg )[/math]

Производная по [math]c[/math] очень громоздкая. Пишу числитель, приравненный нулю:

[math]a\, x_M^2\,c \bigg [ c (a\, x_M-2y_M)+2y_M^2-2a\,x_M \, y_M\bigg ]=0[/math]

Ненулевое решение:

[math]c=2 \,\frac{a\,x_M\,y_M-y_M^2}{a\,x_M-2\,y_M}[/math]

Если это значение [math]c[/math] подставить в [math]S[/math], то это и будет минимальная площадь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 13:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10000
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сегодня с утра подставил и получил красивую формулу:

[math]S_{min}=2\,y_M\, \left ( x_M-\frac{y_M}{a}\right )[/math]

Интересно: совпадает ли это с геометрией Prokop ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 20:10 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, но объясните пожалуйста, как вы выразили сторону треугольника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 21:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10000
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это очень просто. Пусть эта сторона имеет вид

[math]y=bx+c[/math]

Так как точка M принадлежит этой прямой, то можно записать:

[math]y_{M}=b x_{M}+c[/math]

Откуда [math]b=\frac{y_{M}-c}{x_{M}}[/math]

Подставим в первое уравнение и получим то, о чем Вы спрашиваете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 21:28 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ещё узнать, площадь по какой формуле вы искали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 25 дек 2014, 22:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10000
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3068 раз в 2671 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Площадь так. Сначала нашел пересечение двух прямых: первая, о которой мы только что говорили , и вторая - это луч [math]y=a\,x[/math]. То есть пишем

[math]\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x+c=a\,x[/math]

Отсюда определяем [math]x=x_K[/math], где K - верхняя вершина треугольника, то есть

[math]x_K=\frac{c}{a-\frac{y_M-c}{x_M}}[/math]

Высота треугольника [math]y_K=a\,x_K[/math]

Итак, высоту треугольника нашли. Теперь надо найти основание треугольника, то есть абсциссу пересечения прямой, о которой мы говорили, с лучем y=0. Пусть это будет точка B.
Тогда

[math]\frac{y_M-c}{x_M}\cdot x_B+c=0[/math]

Отсюда легко найдем [math]x_B[/math], то есть длину основания.

[math]x_B=\frac{c}{\frac{c-y_M}{x_M}}[/math]

Площадь треугольника [math]S=\frac{1}{2} y_K \, x_B[/math]

Если все это проделать и упростить, то получится формула, что я привел в первом посте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 29 дек 2014, 18:50 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, а вы случайно не ошиблись, когда находили производную???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача
СообщениеДобавлено: 29 дек 2014, 19:38 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
15 окт 2013, 16:13
Сообщений: 345
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все, разобралась

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Xxx777

1

137

07 мар 2015, 14:59

задача

в форуме Экономика и Финансы

Elena1124

1

152

30 мар 2015, 11:46

Задача

в форуме Экономика и Финансы

denisi-svetlana

7

269

31 мар 2015, 17:45

Задача №10

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

125

15 окт 2016, 20:31

Задача

в форуме Теория чисел

tan_tan

1

561

22 ноя 2013, 19:08

Задача №9

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

3

116

15 окт 2016, 14:07

Задача 23 из ОГЭ

в форуме Алгебра

Dir

8

292

07 апр 2015, 17:15

Задача

в форуме Алгебра

Alexandr Privalov

1

63

09 окт 2016, 20:18

Задача

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

God_mode_2016

2

108

09 окт 2016, 04:09

Задача

в форуме Теория вероятностей

Chemist0

1

351

24 мар 2015, 19:02


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved