Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=34858
Страница 1 из 1

Автор:  lllulll [ 28 июн 2014, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Доказать

Помогите пожалуйста
Задание: Пусть функция [math]\ f(x)[/math] имеет конечную производную в каждой точке конечного или бесконечного интервала [math]\left( a,b \right)[/math] и [math]\lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to -0} f(x)[/math]. Доказать, что [math]f'(c)=0[/math], где [math]\ c[/math]-некоторая точка интервала [math]\left( a,b \right)[/math]

С чего начать подскажите пожалуйста

Автор:  Prokop [ 28 июн 2014, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Посмотрите теорему Ролля.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BB%D1%8F

Автор:  3D Homer [ 28 июн 2014, 23:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Я так понимаю, что в правой части стоит предел пр [math]x\to b-0[/math]: [math]\lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to b-0} f(x)[/math]. Тогда сложность в том, что [math]f[/math] определена только на открытом и возможно бесконечном интервале. Если интервал конечный, то [math]f[/math] можно доопределить в концах до непрерывной функции и свести к теореме Ролля. Иначе можно рассмотреть функцию [math]g(x)=f(\text{tg}(x))[/math] на [math][\text{arctg}(a),\text{arctg}(b)][/math], опять доопределенную в концах по непрерывности и применить теорему Ролля к ней.

Автор:  lllulll [ 29 июн 2014, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Я не очень понимаю, как показать, что функция f дифференцируема и непрерывна

Автор:  3D Homer [ 29 июн 2014, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Дифференцируемость дана. Для любой функции верно, что если она дифференцируема в какой-то точке, то она непрерывна в этой точке. Я думаю, что вы спрашиваете не про это, но каков вопрос, таков ответ.

Автор:  lllulll [ 29 июн 2014, 19:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Просто не понимаю, что надо сделать....Для чего нам даны пределы? Что они нам дают?

Автор:  3D Homer [ 29 июн 2014, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать

Вас просят доказать обобщение теоремы Ролля. В этой теореме рассматривается функция, непрерывная на некотором отрезке [math][a,b][/math]. Хорошо известно, что любая функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math] тогда и только тогда, когда [math]\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)[/math]. В случае функции, определенной только на отрезке, для непрерывности в концах этого отрезка нужно рассматривать односторонние пределы. Поэтому функция, удовлетворяющая условию теоремы Ролля, удовлетворяет и условию вашего обобщения: [math]\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)=f(b)= \lim_{x\to b-0}f(x)[/math]. Однако в вашем обобщении функция определена только на открытом интервале [math](a,b)[/math]; она может быть не определена в концах. Но тогда ее можно доопределить: [math]f(a) \,\colon\!\! =\lim_{x\to a-0}f(x)[/math] и аналогично для [math]b[/math]. Такая доопределенная функция будет непрерывна в концах и будет удовлетворять теореме Ролля в части непрерывности. Условие же про дифференцируемость в вашем утверждении и теореме Ролля одинаковы. Это заканчивает рассуждение в случае, если интервал [math](a,b)[/math] конечный (т.к. в оригинальной теореме Ролля интервал [math][a,b][/math] конечный).

Если же [math](a,b)[/math] бесконечный по крайней мере с одной стороны, то есть идея отобразить конечный интервал на него. Пусть, например, [math]a=-\infty[/math], [math]b=\infty[/math]. Функция [math]\text{tg}(x)[/math] отображает [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math] на все множество [math]\Bbb R[/math]. Итак, рассмотрим [math]g(x)=f(\text{tg}(x))[/math]. Неформально говоря, функция [math]g[/math] представляет собой всю [math]f[/math], определенную на [math]\Bbb R[/math], сжатую до области определения [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Однако, для применения теоремы Ролля нужен замкнутый интервал, поэтому доопределим [math]g(-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2) \,\colon\!\! =\lim_{x\to-\infty}f(x)[/math], а [math]g(\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2) \,\colon\!\! =\lim_{x\to\infty}f(x)[/math]. Вам нужно доказать, что [math]g[/math] непрерывна на [math][-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2][/math] и [math]g(-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)=g(\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Также покажите, что дифференцируемость [math]f[/math] на [math](-\infty,\infty)[/math] влечет дифференцируемость [math]g[/math] на [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Наконец, нужно понять, как связаны нули производной [math]f[/math] и [math]g[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/