Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| lllulll |
|
||
|
Задание: Пусть функция [math]\ f(x)[/math] имеет конечную производную в каждой точке конечного или бесконечного интервала [math]\left( a,b \right)[/math] и [math]\lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to -0} f(x)[/math]. Доказать, что [math]f'(c)=0[/math], где [math]\ c[/math]-некоторая точка интервала [math]\left( a,b \right)[/math] С чего начать подскажите пожалуйста |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Prokop |
|
||
|
Посмотрите теорему Ролля.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BB%D1%8F |
|||
| Вернуться к началу | |||
| 3D Homer |
|
||
|
Я так понимаю, что в правой части стоит предел пр [math]x\to b-0[/math]: [math]\lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to b-0} f(x)[/math]. Тогда сложность в том, что [math]f[/math] определена только на открытом и возможно бесконечном интервале. Если интервал конечный, то [math]f[/math] можно доопределить в концах до непрерывной функции и свести к теореме Ролля. Иначе можно рассмотреть функцию [math]g(x)=f(\text{tg}(x))[/math] на [math][\text{arctg}(a),\text{arctg}(b)][/math], опять доопределенную в концах по непрерывности и применить теорему Ролля к ней.
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| lllulll |
|
|
|
Я не очень понимаю, как показать, что функция f дифференцируема и непрерывна
|
||
| Вернуться к началу | ||
| 3D Homer |
|
||
|
Дифференцируемость дана. Для любой функции верно, что если она дифференцируема в какой-то точке, то она непрерывна в этой точке. Я думаю, что вы спрашиваете не про это, но каков вопрос, таков ответ.
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| lllulll |
|
|
|
Просто не понимаю, что надо сделать....Для чего нам даны пределы? Что они нам дают?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| 3D Homer |
|
||
|
Вас просят доказать обобщение теоремы Ролля. В этой теореме рассматривается функция, непрерывная на некотором отрезке [math][a,b][/math]. Хорошо известно, что любая функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math] тогда и только тогда, когда [math]\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)[/math]. В случае функции, определенной только на отрезке, для непрерывности в концах этого отрезка нужно рассматривать односторонние пределы. Поэтому функция, удовлетворяющая условию теоремы Ролля, удовлетворяет и условию вашего обобщения: [math]\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)=f(b)= \lim_{x\to b-0}f(x)[/math]. Однако в вашем обобщении функция определена только на открытом интервале [math](a,b)[/math]; она может быть не определена в концах. Но тогда ее можно доопределить: [math]f(a) \,\colon\!\! =\lim_{x\to a-0}f(x)[/math] и аналогично для [math]b[/math]. Такая доопределенная функция будет непрерывна в концах и будет удовлетворять теореме Ролля в части непрерывности. Условие же про дифференцируемость в вашем утверждении и теореме Ролля одинаковы. Это заканчивает рассуждение в случае, если интервал [math](a,b)[/math] конечный (т.к. в оригинальной теореме Ролля интервал [math][a,b][/math] конечный).
Если же [math](a,b)[/math] бесконечный по крайней мере с одной стороны, то есть идея отобразить конечный интервал на него. Пусть, например, [math]a=-\infty[/math], [math]b=\infty[/math]. Функция [math]\text{tg}(x)[/math] отображает [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math] на все множество [math]\Bbb R[/math]. Итак, рассмотрим [math]g(x)=f(\text{tg}(x))[/math]. Неформально говоря, функция [math]g[/math] представляет собой всю [math]f[/math], определенную на [math]\Bbb R[/math], сжатую до области определения [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Однако, для применения теоремы Ролля нужен замкнутый интервал, поэтому доопределим [math]g(-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2) \,\colon\!\! =\lim_{x\to-\infty}f(x)[/math], а [math]g(\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2) \,\colon\!\! =\lim_{x\to\infty}f(x)[/math]. Вам нужно доказать, что [math]g[/math] непрерывна на [math][-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2][/math] и [math]g(-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)=g(\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Также покажите, что дифференцируемость [math]f[/math] на [math](-\infty,\infty)[/math] влечет дифференцируемость [math]g[/math] на [math](-\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2,\pi \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math]. Наконец, нужно понять, как связаны нули производной [math]f[/math] и [math]g[/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: Alexdemath |
|||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Доказать, что: | 1 |
215 |
26 май 2017, 19:18 |
|
| Доказать | 7 |
427 |
31 май 2018, 00:13 |
|
|
Доказать
в форуме Алгебра |
1 |
212 |
19 дек 2018, 21:05 |
|
|
Доказать
в форуме Алгебра |
1 |
255 |
07 сен 2015, 22:20 |
|
| Как Доказать? | 1 |
329 |
02 ноя 2016, 23:27 |
|
|
Доказать
в форуме Геометрия |
1 |
388 |
22 июл 2015, 23:24 |
|
|
Доказать
в форуме Геометрия |
3 |
315 |
19 май 2021, 00:11 |
|
|
Как это доказать?
в форуме Алгебра |
2 |
400 |
05 май 2021, 19:40 |
|
|
Доказать
в форуме Алгебра |
4 |
275 |
27 апр 2021, 14:41 |
|
|
Доказать
в форуме Тригонометрия |
4 |
521 |
06 апр 2015, 20:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |