| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Экстремум функции, заданной неявно http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=33476 |
Страница 1 из 4 |
| Автор: | Monroe [ 18 май 2014, 20:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Экстремум функции, заданной неявно |
Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с заданием: Найти экстремум функции u = (x,y), заданной неявно уравнением: 3*x^2 + 2*y^2 + u^2 + 6*x - 20*y - 2*u + 40 = 0 Я так понял, сначала находим частные производные, а что дальше? Большое спасибо! |
|
| Автор: | Avgust [ 19 май 2014, 06:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Я выразил U в явном виде [math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math] Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5 При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math] При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math] Проверил гипотезу графически - все верно оказалось:
|
|
| Автор: | Monroe [ 19 май 2014, 08:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Avgust, а как определить, что значения экстремума именно в точках x = -1 ; y=5? И как так выразить U? Спасибо! |
|
| Автор: | Avgust [ 19 май 2014, 09:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Выражается, как квадратное уравнение. А экстремумы найти так: берутся производные по x и y и приравниваются нулю. Для U, где перед корнем минус, найдем минимум, и наоборот. Возьмите производные, и числители приравнивайте нулю. Числители дают систему: [math]-3(x+1)=0[/math] [math]-2(y-5)=0[/math] Тут ясно, что [math]x=-1\, ; \quad y=5[/math] Причем для обоих корней U |
|
| Автор: | Monroe [ 19 май 2014, 10:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Avgust, просто совсем не могу понять, как именно получилась 1 +/- корень? Как же так вышло? |
|
| Автор: | Avgust [ 19 май 2014, 11:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
О, Боже! Задача для семиклассника. Запишем Ваше уравнение: [math]u^2-2u+3x^2+2y^2+6x-20y+40=0[/math] Обозначим [math]A=3x^2+2y^2+6x-20y+40[/math] Тогда [math]u^2-2u+A=0[/math] Это, я думаю, Вы решите и получите: [math]u=1\pm\sqrt{1-A}[/math] Обратной заменой получите те самые корни. |
|
| Автор: | victor1111 [ 19 май 2014, 11:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Avgust писал(а): Я выразил U в явном виде [math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math] Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5 При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math] При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math] Проверил гипотезу графически - все верно оказалось: ![]() 1+sqrt(17), 1-sqrt(17). |
|
| Автор: | Monroe [ 19 май 2014, 12:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Avgust, спасибо. Тогда как вы нашли само значение A? Когда именно брать производную? Значения 1 +/- sqrt(1 - A) я получил. Что с этим делать дальше? |
|
| Автор: | Avgust [ 19 май 2014, 15:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Вы не можете упростить под корнем [math]1-3x^2-2y^2-6x+20y-40[/math] ??? Я же написал Вам числители производных. Приравнял их нулю и решил эту систему. Нашел точки двух экстремумов. Вам лишь списать остается. |
|
| Автор: | Monroe [ 19 май 2014, 17:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции, заданной неявно |
Avgust, я просто не могу понять, как Вы так упростили? Вы брали частные производные от корня и уже там приравнивали числители к 0? Как вообще 14 получилось? |
|
| Страница 1 из 4 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|