Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Экстремум функции, заданной неявно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=33476
Страница 1 из 4

Автор:  Monroe [ 18 май 2014, 20:00 ]
Заголовок сообщения:  Экстремум функции, заданной неявно

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с заданием:

Найти экстремум функции u = (x,y), заданной неявно уравнением:
3*x^2 + 2*y^2 + u^2 + 6*x - 20*y - 2*u + 40 = 0

Я так понял, сначала находим частные производные, а что дальше? Большое спасибо!

Автор:  Avgust [ 19 май 2014, 06:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Я выразил U в явном виде

[math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math]

Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5

При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math]
При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math]

Проверил гипотезу графически - все верно оказалось:
Изображение

Автор:  Monroe [ 19 май 2014, 08:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Avgust, а как определить, что значения экстремума именно в точках x = -1 ; y=5?
И как так выразить U?
Спасибо!

Автор:  Avgust [ 19 май 2014, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Выражается, как квадратное уравнение.
А экстремумы найти так: берутся производные по x и y и приравниваются нулю. Для U, где перед корнем минус, найдем минимум, и наоборот. Возьмите производные, и числители приравнивайте нулю.
Числители дают систему:

[math]-3(x+1)=0[/math]

[math]-2(y-5)=0[/math]

Тут ясно, что [math]x=-1\, ; \quad y=5[/math]

Причем для обоих корней U

Автор:  Monroe [ 19 май 2014, 10:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Avgust, просто совсем не могу понять, как именно получилась 1 +/- корень? Как же так вышло?

Автор:  Avgust [ 19 май 2014, 11:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

О, Боже! Задача для семиклассника. Запишем Ваше уравнение:

[math]u^2-2u+3x^2+2y^2+6x-20y+40=0[/math]

Обозначим [math]A=3x^2+2y^2+6x-20y+40[/math]

Тогда [math]u^2-2u+A=0[/math]

Это, я думаю, Вы решите и получите:

[math]u=1\pm\sqrt{1-A}[/math]

Обратной заменой получите те самые корни.

Автор:  victor1111 [ 19 май 2014, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Avgust писал(а):
Я выразил U в явном виде

[math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math]

Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5

При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math]
При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math]

Проверил гипотезу графически - все верно оказалось:
Изображение

1+sqrt(17), 1-sqrt(17).

Автор:  Monroe [ 19 май 2014, 12:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Avgust, спасибо. Тогда как вы нашли само значение A? Когда именно брать производную? Значения 1 +/- sqrt(1 - A) я получил. Что с этим делать дальше?

Автор:  Avgust [ 19 май 2014, 15:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Вы не можете упростить под корнем [math]1-3x^2-2y^2-6x+20y-40[/math]
???

Я же написал Вам числители производных. Приравнял их нулю и решил эту систему. Нашел точки двух экстремумов. Вам лишь списать остается.

Автор:  Monroe [ 19 май 2014, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции, заданной неявно

Avgust, я просто не могу понять, как Вы так упростили? Вы брали частные производные от корня и уже там приравнивали числители к 0?
Как вообще 14 получилось?

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/