Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 20:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 17:16
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с заданием:

Найти экстремум функции u = (x,y), заданной неявно уравнением:
3*x^2 + 2*y^2 + u^2 + 6*x - 20*y - 2*u + 40 = 0

Я так понял, сначала находим частные производные, а что дальше? Большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 06:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я выразил U в явном виде

[math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math]

Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5

При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math]
При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math]

Проверил гипотезу графически - все верно оказалось:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Monroe
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 08:36 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 17:16
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, а как определить, что значения экстремума именно в точках x = -1 ; y=5?
И как так выразить U?
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 09:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выражается, как квадратное уравнение.
А экстремумы найти так: берутся производные по x и y и приравниваются нулю. Для U, где перед корнем минус, найдем минимум, и наоборот. Возьмите производные, и числители приравнивайте нулю.
Числители дают систему:

[math]-3(x+1)=0[/math]

[math]-2(y-5)=0[/math]

Тут ясно, что [math]x=-1\, ; \quad y=5[/math]

Причем для обоих корней U

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Monroe
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 10:02 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 17:16
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, просто совсем не могу понять, как именно получилась 1 +/- корень? Как же так вышло?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 11:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, Боже! Задача для семиклассника. Запишем Ваше уравнение:

[math]u^2-2u+3x^2+2y^2+6x-20y+40=0[/math]

Обозначим [math]A=3x^2+2y^2+6x-20y+40[/math]

Тогда [math]u^2-2u+A=0[/math]

Это, я думаю, Вы решите и получите:

[math]u=1\pm\sqrt{1-A}[/math]

Обратной заменой получите те самые корни.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 11:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Я выразил U в явном виде

[math]U = 1\pm \sqrt{20y-39-6x-3x^2-2y^2}[/math]

Это эллипсоид. Оба экстремума будут при x=-1 ; y=5

При знаке минус [math]U_{min}=1-\sqrt{14}[/math]
При знаке плюс [math]U_{max}=1+\sqrt{14}[/math]

Проверил гипотезу графически - все верно оказалось:
Изображение

1+sqrt(17), 1-sqrt(17).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 12:36 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 17:16
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, спасибо. Тогда как вы нашли само значение A? Когда именно брать производную? Значения 1 +/- sqrt(1 - A) я получил. Что с этим делать дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 15:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы не можете упростить под корнем [math]1-3x^2-2y^2-6x+20y-40[/math]
???

Я же написал Вам числители производных. Приравнял их нулю и решил эту систему. Нашел точки двух экстремумов. Вам лишь списать остается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции, заданной неявно
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 17:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 17:16
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, я просто не могу понять, как Вы так упростили? Вы брали частные производные от корня и уже там приравнивали числители к 0?
Как вообще 14 получилось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 35 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследование неявно заданной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

karisto

1

644

23 ноя 2016, 00:53

Производная неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

[K]Fantom

3

480

10 янв 2017, 12:58

Производная неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Zema480

1

433

22 окт 2015, 19:24

Найти производную функции, заданной неявно

в форуме Дифференциальное исчисление

Chiyu

7

884

20 янв 2018, 21:32

Частные производные неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

351w

5

636

12 июн 2018, 08:23

Найти производную функции y, заданной неявно

в форуме Дифференциальное исчисление

luci616

1

141

18 дек 2019, 05:47

Найти дифференциал неявно заданной функции

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

w1ngo

1

542

13 мар 2015, 17:46

Найти производную неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

KiraLeto

8

704

29 мар 2015, 15:59

Правильно ли решена производная неявно заданной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Hooperson

4

463

30 апр 2015, 23:36

Дифференцирование функции неск переменных, заданной неявно

в форуме Дифференциальное исчисление

taisia_mi

6

313

27 окт 2019, 17:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved