Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
AlterEgo |
|
||
По имеющимся данным, есть вариант решения такой: с помощью аффинных преобразований свести эллипсоид к сфере, потом найти максимальный объём для параллелепипеда в этой сфере и затем, снова с помощью аффинных преобразований, вернуться к эллипсоиду, а также учесть переход в эллипсоид при пересчёте объема. Когда попытался решить задачу с использованием этого алгоритма, встретился сразу с несколькими трудностями:
2) Говорят, что нахождение максимального по объёму параллелепипеда, вписанного в сферу - тривиальная задача. Однако, тут тоже есть вопросы. 1. Сами вычисления (я их провёл, но нет уверенности в корректности результата). 2. Строгое доказательство, что это действительно максимальный по объёму параллелепипед. 3) Как перенести всё это дело, с частного случая сферы, на случай нашего конкретного эллипсоида? (Объём, ну и, опять же, оформление.) Это единственное задание из того, что задали, которое не получается уже длительное время решить. Надеюсь на вашу помощь. Заранее благодарю! P.S. Решал с помощью функции Лагранжа. Со сферой, в части доказательства максимума, в результате моих изысканий, получилось, что это, наоборот, минимум объёма. (Скорее всего ошибка). Пытался действовать не по этому алгоритму: исследовал функцию [math]V=xyz[/math](эту же функцию исследовал, в случае со сферой) на экстремум с условием в виде данного уравнения эллипсоида, но там все главные миноры обнулились, в связи с чем, сделать вывод о том, верно решено или нет, не могу. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Есть ещё способ. Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел
[math]\sqrt[3]{{abc}}\leqslant \frac{1}{3}\left({a + b + c}\right)[/math] Это неравенство превращается в равенство, если числа [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] одинаковы. Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида. Пусть [math]\left({x,y,z}\right[/math]) - координаты вершины параллелепипеда в первом октанте. Тогда объём параллелепипеда равен [math]V = 8xyz[/math]. Далее [math]\sqrt[3]{{{V^2}}}= 4\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}}= 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}}{3}\frac{{{y^2}}}{{12}}{z^2}}}\leqslant 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \frac{{\frac{{{x^2}}}{3}+ \frac{{{y^2}}}{{12}}+{z^2}}}{3}\leqslant \frac{4}{3}\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}[/math] Отсюда выводим, что максимальное значение объёма [math]{V_{\max}}= \frac{{16}}{3}\sqrt 3[/math] при [math]x = 1[/math], [math]y = 2[/math], [math]z = \frac{{\sqrt 3}}{3}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: AlterEgo |
|||
AlterEgo |
|
|
Prokop
А вы можете объяснить физический смысл ваших преобразований? Я уже представляю, как преподаватель начинает задавать вопросы. То, что вижу я: объём сравниваем с каноническим уравнением данного эллипсоида(домноженного на коэффициенты в квадрате и взятые под корень). Как получили, чисто технически - всё понятно, вопросов нет, но вот корректно ли таким образом находить максимальный объём? Заранее благодарю! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Это правильное решение.
Другое дело, если от Вас требуется применение метода Лагранжа. Что от Вас требуют? |
|||
Вернуться к началу | |||
vvvv |
|
|
[quote="Prokop"].
Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида. А если параллелепипед не прямой? |
||
Вернуться к началу | ||
AlterEgo |
|
|
Prokop
Ну вообще, остальные задания на условный экстремум решаются методом Лагранжа. Но я всё равно не могу составить корректного условия (или условий) к этой задаче, так что спасибо Вам! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
vvvv
Хороший вопрос. AlterEgo Эта задача просто решается методом Лагранжа. |
|||
Вернуться к началу | |||
AlterEgo |
|
|
Prokop
Допустим, какое тогда условие нужно составить? По моим представлениям, нужно исследовать функцию V = xyz на условный экстремум. Единственное условие, которое приходит мне в голову: [math]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}+z^2=1[/math], т.е. уравнение эллипсоида. У Вас какие соображения? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов
в форуме Дифференциальное исчисление |
13 |
732 |
17 окт 2017, 00:59 |
|
Параллелепипед вписанный в эллипсоид | 0 |
459 |
14 окт 2014, 20:54 |
|
Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема | 9 |
2353 |
11 дек 2016, 16:29 |
|
Эллипсоид | 7 |
332 |
13 май 2017, 17:34 |
|
Переход эллипсоид/сфероцилиндр | 1 |
263 |
03 мар 2016, 16:10 |
|
Параметрическое уравнение эллипсоид | 0 |
1617 |
28 май 2014, 19:27 |
|
Формула перехода из кубоида в эллипсоид
в форуме Геометрия |
4 |
300 |
17 июл 2018, 23:02 |
|
Найти объём тела, огр. поверхностями: цилиндр, эллипсоид
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
774 |
24 окт 2014, 21:05 |
|
Параллелепипед
в форуме Геометрия |
0 |
223 |
16 ноя 2015, 23:15 |
|
Параллелепипед
в форуме Геометрия |
1 |
415 |
16 ноя 2015, 22:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |