Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 14 апр 2014, 16:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2014, 16:07
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. В эллипсоид [math]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}+z^2=1[/math] вписать параллелепипед наибольшего объёма. Задача на условных экстремум фнп.

По имеющимся данным, есть вариант решения такой: с помощью аффинных преобразований свести эллипсоид к сфере, потом найти максимальный объём для параллелепипеда в этой сфере и затем, снова с помощью аффинных преобразований, вернуться к эллипсоиду, а также учесть переход в эллипсоид при пересчёте объема.
Когда попытался решить задачу с использованием этого алгоритма, встретился сразу с несколькими трудностями:
    1) Как корректно перевести каноническое уравнение эллипсоида в уравнение сферы? Более всего волнует вопрос радиуса. (Ну и правильного оформления, т.к. никогда такими делами не занимался)
    2) Говорят, что нахождение максимального по объёму параллелепипеда, вписанного в сферу - тривиальная задача. Однако, тут тоже есть вопросы. 1. Сами вычисления (я их провёл, но нет уверенности в корректности результата). 2. Строгое доказательство, что это действительно максимальный по объёму параллелепипед.
    3) Как перенести всё это дело, с частного случая сферы, на случай нашего конкретного эллипсоида? (Объём, ну и, опять же, оформление.)

Это единственное задание из того, что задали, которое не получается уже длительное время решить. Надеюсь на вашу помощь.
Заранее благодарю!

P.S. Решал с помощью функции Лагранжа. Со сферой, в части доказательства максимума, в результате моих изысканий, получилось, что это, наоборот, минимум объёма. (Скорее всего ошибка). Пытался действовать не по этому алгоритму: исследовал функцию [math]V=xyz[/math](эту же функцию исследовал, в случае со сферой) на экстремум с условием в виде данного уравнения эллипсоида, но там все главные миноры обнулились, в связи с чем, сделать вывод о том, верно решено или нет, не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 14:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть ещё способ. Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел
[math]\sqrt[3]{{abc}}\leqslant \frac{1}{3}\left({a + b + c}\right)[/math]
Это неравенство превращается в равенство, если числа [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] одинаковы.
Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида. Пусть [math]\left({x,y,z}\right[/math]) - координаты вершины параллелепипеда в первом октанте.
Тогда объём параллелепипеда равен [math]V = 8xyz[/math].
Далее
[math]\sqrt[3]{{{V^2}}}= 4\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}}= 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}}{3}\frac{{{y^2}}}{{12}}{z^2}}}\leqslant 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \frac{{\frac{{{x^2}}}{3}+ \frac{{{y^2}}}{{12}}+{z^2}}}{3}\leqslant \frac{4}{3}\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}[/math]
Отсюда выводим, что максимальное значение объёма
[math]{V_{\max}}= \frac{{16}}{3}\sqrt 3[/math]
при [math]x = 1[/math], [math]y = 2[/math], [math]z = \frac{{\sqrt 3}}{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
AlterEgo
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 17:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2014, 16:07
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
А вы можете объяснить физический смысл ваших преобразований? Я уже представляю, как преподаватель начинает задавать вопросы.
То, что вижу я: объём сравниваем с каноническим уравнением данного эллипсоида(домноженного на коэффициенты в квадрате и взятые под корень). Как получили, чисто технически - всё понятно, вопросов нет, но вот корректно ли таким образом находить максимальный объём?

Заранее благодарю!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 19:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это правильное решение.
Другое дело, если от Вас требуется применение метода Лагранжа. Что от Вас требуют?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 21:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="Prokop"].
Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида.
А если параллелепипед не прямой?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 21:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2014, 16:07
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Ну вообще, остальные задания на условный экстремум решаются методом Лагранжа. Но я всё равно не могу составить корректного условия (или условий) к этой задаче, так что спасибо Вам!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 22:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv
Хороший вопрос. :)

AlterEgo
Эта задача просто решается методом Лагранжа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид
СообщениеДобавлено: 15 апр 2014, 23:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2014, 16:07
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Допустим, какое тогда условие нужно составить?

По моим представлениям, нужно исследовать функцию V = xyz на условный экстремум. Единственное условие, которое приходит мне в голову: [math]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}+z^2=1[/math], т.е. уравнение эллипсоида. У Вас какие соображения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов

в форуме Дифференциальное исчисление

anpe0681

13

793

17 окт 2017, 00:59

Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Bunny987

9

2569

11 дек 2016, 16:29

Эллипсоид

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nuta_shi

7

374

13 май 2017, 17:34

Переход эллипсоид/сфероцилиндр

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Yulia_Sh

1

276

03 мар 2016, 16:10

Формула перехода из кубоида в эллипсоид

в форуме Геометрия

FlyMouse

4

345

17 июл 2018, 23:02

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

1

285

16 ноя 2015, 21:11

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

1

463

16 ноя 2015, 22:33

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

0

238

16 ноя 2015, 23:15

Прямой параллелепипед

в форуме Геометрия

ff653_12

7

215

13 апр 2023, 11:34

Решить параллелепипед

в форуме Геометрия

mrsGilbert

2

182

22 дек 2021, 13:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: venjar и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved