Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 01 апр 2014, 20:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 ноя 2013, 11:45
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, задание такое:
найти y[math]^{(50)}[/math](x), если y(x)=[math]\frac{ 1 }{ 1+ctg^2(x) }[/math]
я выявил зависимость:
первая производная = sin2x
вторая = 2cos2x
третья = -4sin2x
четвертая = -8cos2x
пятая = 16sin2x
Но вот как вычислить 50-ую производную? Можно это всё на листке умножать на 2 и так 50 раз, но это как-то некрасиво. Каким способом нужно воспользоваться? Если формулой Лейбница, то я не понимаю как её тут использовать. Подскажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 01 апр 2014, 20:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{array}{l}y = \frac{1}{{1 + {{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} }^2}x}} = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\y' = \sin \left( {2x} \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\\y'' = 2\cos 2x = - 2\cos \left( {2x + \pi } \right)\\y''' = {2^2}\sin 2x = - {2^2}\cos \left( {2x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\end{array}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Veinar
 Заголовок сообщения: Re: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 01 апр 2014, 20:50 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще элементарней.
Пусть n номер производной.

Тогда коэффициент будет [math]2^{(n-1)}[/math]

Минусы будут для [math]n=4k-1[/math] и [math]n=4k[/math]

Плюсы будут для [math]n=4k+1[/math] и [math]n=4k+2[/math]

При нечетном n будет синус

При четном n будет косинус

Суммируя сказанное:

[math]50=4\cdot 12+2[/math] - следовательно плюс и косинус.

Тогда

[math]y^{[50]}=2^{49}\cos(2x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Veinar
 Заголовок сообщения: Re: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 01 апр 2014, 21:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А ещё элементарней использовать школьные знания [math]{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Veinar
 Заголовок сообщения: Re: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 01 апр 2014, 23:52 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma, и дальше как это использовать? До конечного, так сказать, результата.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти 50 производную
СообщениеДобавлено: 02 апр 2014, 05:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{array}{l}{y^{\left( n \right)}} = - {2^{n - 1}}\cos \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right),n \ge 1\\{y^{\left( {50} \right)}} = - {2^{49}}\cos \left( {2x + 25\pi } \right) = - {2^{49}}\cos \left( {2x + \pi } \right) = {2^{49}}\cos 2x\end{array}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти производную. Найти наименее удаленную точку

в форуме Дифференциальное исчисление

351w

1

513

14 апр 2018, 22:36

Найти производную f от x с помощью определителя, найти эл

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

qvernaut

1

673

01 июн 2015, 20:28

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

puzatik2

2

169

13 дек 2020, 17:33

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

polevawka

1

194

10 дек 2016, 19:49

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

555

3

233

14 дек 2020, 20:24

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

uiiiiiii

7

277

16 дек 2020, 18:22

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

Olia123

3

379

09 фев 2023, 16:28

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

uiiiiiii

5

349

25 дек 2020, 17:43

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

mrnoob

1

211

06 янв 2021, 21:31

Найти производную

в форуме Дифференциальное исчисление

zvezda00

4

294

07 дек 2020, 19:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved