Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 29 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| makc59 |
|
|
|
[math]\[z ={\rm{}}4{x^2}+{y^2}-{\rm{}}20x-{\rm{}}4y +{\rm{}}29\][/math] в области заданной неравенствами: [math]\[x{\rm{}}\ge 0;2x{\rm{}}-{\rm{}}5y \le 0;x +{\rm{}}y - 7{\rm{}}\le{\rm{0}}\][/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Analitik |
|
|
|
makc59
Каков Ваш план? |
||
| Вернуться к началу | ||
| makc59 |
|
|
|
Найдем частные производные:
[math]\[\begin{array}{l}\frac{{dz}}{{dx}}= \frac{d}{{dx}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 8x - 20\\ \frac{{dz}}{{dy}}= \frac{d}{{dy}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 2y - 4 \end{array}\][/math] Решив систему двух уравнений: [math]\[\begin{array}{l}8x - 20 = 0\\ 2y - 4 = 0 \end{array}\][/math] Получим точки: [math]\[\begin{array}{l}x = \frac{{20}}{8}= \frac{5}{2}= 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math] А дальше? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Analitik |
|
|
|
Идея проста.
Вы ищете наибольшее и наименьшее значение функции в конкретной области. Функция может принимать наибольшее или наименьшее значение либо внутри области, либо на границе. Поэтому сначала исследуют функцию на экстремум внутри области. Первую часть Вы сделали. Нашли стационарную точку. Проверьте является ли она внутренней точкой заданной области. Если она является внутренней точкой, то проверяете ее на экстремум. Если нет, то значит внутри области нет локальных минимумов или максимумов. Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область. |
||
| Вернуться к началу | ||
| vvvv |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Если преобразовать [math]z=4x^{2}+y^{2}-20x-4y+29=(2x-5)^{2}+(y-2)^{2}[/math],то минимум можно будет найти сразу,не дифференцируя.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: radix |
||
| makc59 |
|
|
|
Точку
[math]\[\begin{array}{l}x = 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math] нашел. А дальнейшее решение.... Подставив эту точку в уравнения области определения, получаем что входит. Подставив эту точку в функцию получаем 0 Почему именно минимум? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Analitik |
|
|
|
makc59
Вы что не знаете как исследовать на экстремуму функцию двух переменных? Вы определили, что это стационарная точка. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции для функции двух переменных. |
||
| Вернуться к началу | ||
| makc59 |
|
|
|
Продолжения решения. Посмотрите, теперь все верно?
[math]\[\begin{array}{l}A = \frac{{{d^2}z}}{{d{x^2}}}= \frac{d}{{dx}}\left({8x - 20}\right) = 8\\ B = \frac{{{d^2}z}}{{dxdy}}= \frac{d}{{dy}}\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right) = \frac{d}{{dy}}\left({8x - 20}\right) = 0\\ C = \frac{{{d^2}z}}{{d{y^2}}}= \frac{d}{{dy}}\left({2y - 4}\right) = 2\\ \Delta = AC -{B^2}= 8 \cdot 2 - 0 = 16 > 0 \end{array}\][/math] Так как дискриминант больше нуля и A>0, то функция z имеет минимум в точке [math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math] [math]\[{z_{\min}}= 4 \cdot{\left({2\frac{1}{2}}\right)^2}+{2^2}- 20 \cdot \left({2\frac{1}{2}}\right) - 4 \cdot 2 + 29 = 0\][/math] Ответ: Функция [math]\[z = 4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29\][/math] имеет минимум в точке [math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Analitik |
|
|
|
makc59
Все верно, но это не ответ. Вас же не спрашивали о минимуме или максимуме. Вопрос стоит Наибольшее и наименьшее значение функции. Вам еще нужно проделать вот это: Analitik писал(а): Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 29 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |