Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 12 фев 2014, 22:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
[math]\[z ={\rm{}}4{x^2}+{y^2}-{\rm{}}20x-{\rm{}}4y +{\rm{}}29\][/math]
в области заданной неравенствами:
[math]\[x{\rm{}}\ge 0;2x{\rm{}}-{\rm{}}5y \le 0;x +{\rm{}}y - 7{\rm{}}\le{\rm{0}}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 12 фев 2014, 23:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59
Каков Ваш план?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 13 фев 2014, 19:10 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найдем частные производные:

[math]\[\begin{array}{l}\frac{{dz}}{{dx}}= \frac{d}{{dx}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 8x - 20\\ \frac{{dz}}{{dy}}= \frac{d}{{dy}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 2y - 4 \end{array}\][/math]
Решив систему двух уравнений:
[math]\[\begin{array}{l}8x - 20 = 0\\ 2y - 4 = 0 \end{array}\][/math]
Получим точки:
[math]\[\begin{array}{l}x = \frac{{20}}{8}= \frac{5}{2}= 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math]
А дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 13 фев 2014, 19:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Идея проста.
Вы ищете наибольшее и наименьшее значение функции в конкретной области.
Функция может принимать наибольшее или наименьшее значение либо внутри области, либо на границе.
Поэтому сначала исследуют функцию на экстремум внутри области.
Первую часть Вы сделали. Нашли стационарную точку. Проверьте является ли она внутренней точкой заданной области.
Если она является внутренней точкой, то проверяете ее на экстремум.
Если нет, то значит внутри области нет локальных минимумов или максимумов.

Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 13 фев 2014, 23:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Картинка в помощь.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 14 фев 2014, 10:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если преобразовать [math]z=4x^{2}+y^{2}-20x-4y+29=(2x-5)^{2}+(y-2)^{2}[/math],то минимум можно будет найти сразу,не дифференцируя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
radix
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 14 фев 2014, 10:44 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точку
[math]\[\begin{array}{l}x = 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math]
нашел. А дальнейшее решение....
Подставив эту точку в уравнения области определения, получаем что входит.
Подставив эту точку в функцию получаем 0
Почему именно минимум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 14 фев 2014, 11:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59

Вы что не знаете как исследовать на экстремуму функцию двух переменных?
Вы определили, что это стационарная точка.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции для функции двух переменных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 14 фев 2014, 15:47 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Продолжения решения. Посмотрите, теперь все верно?
[math]\[\begin{array}{l}A = \frac{{{d^2}z}}{{d{x^2}}}= \frac{d}{{dx}}\left({8x - 20}\right) = 8\\ B = \frac{{{d^2}z}}{{dxdy}}= \frac{d}{{dy}}\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right) = \frac{d}{{dy}}\left({8x - 20}\right) = 0\\ C = \frac{{{d^2}z}}{{d{y^2}}}= \frac{d}{{dy}}\left({2y - 4}\right) = 2\\ \Delta = AC -{B^2}= 8 \cdot 2 - 0 = 16 > 0 \end{array}\][/math]
Так как дискриминант больше нуля и A>0, то функция z имеет минимум в точке
[math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math]
[math]\[{z_{\min}}= 4 \cdot{\left({2\frac{1}{2}}\right)^2}+{2^2}- 20 \cdot \left({2\frac{1}{2}}\right) - 4 \cdot 2 + 29 = 0\][/math]
Ответ: Функция
[math]\[z = 4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29\][/math]
имеет минимум в точке
[math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
СообщениеДобавлено: 14 фев 2014, 16:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59

Все верно, но это не ответ. Вас же не спрашивали о минимуме или максимуме. Вопрос стоит Наибольшее и наименьшее значение функции.
Вам еще нужно проделать вот это:
Analitik писал(а):
Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 29 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

в форуме Дифференциальное исчисление

Ciber15

1

320

09 апр 2018, 09:36

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

в форуме Дифференциальное исчисление

dssdf16

5

331

12 фев 2021, 18:37

Наибольшее и наименьшее значения функции в области

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mathnope

15

868

25 апр 2018, 16:43

Наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

в форуме Дифференциальное исчисление

forpe

9

331

04 июн 2023, 01:01

Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области D

в форуме Дифференциальное исчисление

TANKER

1

526

15 дек 2016, 11:14

Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области

в форуме Дифференциальное исчисление

Undergroman

3

411

07 янв 2021, 22:10

Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области

в форуме Дифференциальное исчисление

RichardZorg

11

1069

17 мар 2016, 12:22

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BltMp_SrZv

1

247

18 янв 2023, 00:24

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в форуме Дифференциальное исчисление

t1nk3

1

367

10 май 2017, 21:56

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Soldatov

3

464

19 фев 2015, 19:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved