Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремум функции двух переменных.Запуталась
СообщениеДобавлено: 10 фев 2014, 22:50 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 окт 2013, 10:53
Сообщений: 10
Откуда: Украина, Донецк
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{y} ^{4} - \boldsymbol{x} ^{2} -2 \times \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{y} -\boldsymbol{y} ^{2} + 5[/math]
частная производная по x:
[math]\frac{\partial z}{\partial x} = 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math]
частная производная по y:
[math]\frac{\partial z}{\partial y} = 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math]

Может глупо, но запуталась на решении системы.. Какую-то ахинею нагородила. Не могу точки посчитать..

решим систему уравнений для нахождения стационарных точек.
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3}=0 \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\
& 2 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \left( 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} \right) = 0 \\
& \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0=0 \\
& \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x}
\end{aligned}\right.[/math]


Где я налажала??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась
СообщениеДобавлено: 10 фев 2014, 23:00 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 16:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dobby "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась
СообщениеДобавлено: 10 фев 2014, 23:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если из первого уравнения вычесть второе и сложить первое и второе уравнения, получим:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^3-2y^3=0 \\ & 2x^3+2y^3-2x-2y=0 \end{aligned}\right.[/math]
или
[math]\left\{\!\begin{aligned}& (x-y)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0 \end{aligned}\right.[/math]

Система распадётся на 4:
1. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x=-y \end{aligned}\right.[/math]
Очевидно, что решение этой системы [math]x=0,\,y=0[/math]

2. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math]
Откуда получим [math]x^2-x^2+x^2-1=0\Rightarrow x_1=1,\,y_1=1,\,x_2=-1,\,y_2=-1[/math]

3. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x+y=0 \end{aligned}\right.[/math]
Откуда [math]x^2-x^2+x^2=0\Rightarrow x=0[/math]

4. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math]
Это самый запущенный случай.
Опять же, если вычесть из первого уравнения второе и сложить первое уравнение со вторым, получим систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^2+2y^2=1 \\ & 2xy=1 \end{aligned}\right.[/math]
Эта система не имеет действительных корней. Убедиться в этом не так уж сложно.

Итого, получаем точки [math](0;0),\,(1;1),\,(-1;-1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась
СообщениеДобавлено: 10 фев 2014, 23:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dobby писал(а):
Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека.
Ну а я, как всегда, всё усложнила :%)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 00:42 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2689
Cпасибо сказано: 177
Спасибо получено:
848 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
График функции. 3D и проекция на ZOY.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serg_miren

5

274

10 май 2012, 11:22

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vertigo

2

325

31 май 2012, 02:09

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

number_one

2

347

11 июн 2012, 01:10

Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

144

17 дек 2016, 20:02

Условный экстремум функции о двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MercuryOcean

6

154

01 дек 2016, 23:59

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Rea1l

0

200

31 мар 2014, 10:15

Найдите экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

4

292

27 янв 2013, 02:53

Найти экстремум функции двух переменных.

в форуме Дифференциальное исчисление

Monarkhov

5

373

26 май 2013, 12:34

Найти экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

serebro

1

418

27 янв 2013, 21:02

Найти условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

pacific

2

543

24 май 2013, 15:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved