| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интересное уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=28802 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | alena_t [ 10 дек 2013, 17:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Интересное уравнение |
Доброго времени суток! Столкнулась с таким уравнением: y=(x*y'+2*y)^2. Точно не уравнение с разделяющими переменными, не однородное, не полный дифференциал, разные подстановки не помогли (хотя может не все попробовала) Подскажите, пожалуйста, как быть с правой частью, при возведении в квадрат получается (y')^2. |
|
| Автор: | Yurik [ 10 дек 2013, 17:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Почему же, переменные разделяются. [math]\begin{gathered} \sqrt y = xy' + 2y\,\, = > \,\,\,xy' = \sqrt y - 2y \hfill \\ \frac{{dy}}{{\sqrt y - 2y}} = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | alena_t [ 10 дек 2013, 20:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Спасибо!!! Я в квадрат возводила и пыталась решить! Но возник вопрос: мы извлекаем квадратный корень из у, то есть это функция должна быть не отрицательна? или в теории диф. уравнений на это не смотрят, так как если за у брать какое-то число, то на множестве действительных чисел мы не можем извлечь корень из отрицательного числи (только на множестве комплексных чисел). И можно еще один вопрос: есть несколько заданий одного вида, я хочу понять как они решаются (решу сама, только объясните, пожалуйста). К примеру, правая часть линейного диф. уравнения имеет вид: f(x)=4*e^3x- x*cos(3x) + e^x * sin(x) + cos(3x) - 2. Даны корни характеристического уравнения разной кратности... Требуется составить общее решение. Как я поняла: общее решение = решение однородное (как раз по корням) + решение частное. Однородное я составлю, а вот как частное найти??? В стандартном виде правая часть диф. уравнения имеет другой вид. Может надо разбить на сумму нескольких функций? Подскажите, пожалуйста. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 10 дек 2013, 20:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Да, в Вашем приведенном примере ( f(x)=4*e^3x- x*cos(3x) + e^x * sin(x) + cos(3x) - 2) 5 частных решений, а вид каждого есть везде |
|
| Автор: | Yurik [ 10 дек 2013, 20:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Ищите прицип суперпозиции http://mathhelpplanet.com/static.php?p=odnorodnyye-i-neodnorodnyye-differentsialnyye-uravneniya |
|
| Автор: | alena_t [ 10 дек 2013, 21:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
простите, я ошиблась, 4-ое слагаемое sin(3x). Получается: f(x)=4*e^3x - x*cos(3x) + e^x * sin(x) + sin(3x) - 2. Можно ли тогда объединить 2 слагаемых: sin(3x) - x*cos(3x). В данном случае альфа=0, бета=3, функция P(x)=1, функция Q(x)=-x. Тогда решение ищем в виде: A*sin(3x) + (B*x + C)*cos(3x). Тогда всего будет 3 варианта. Подскажите, пожалуйста, а как можно записать частное решение, если правая часть имеет вид: (e^x)*(sin x)^2. Как можно квадрат представить? Воспользоваться формулами понижения степени из тригонометрии или есть спец. способ? |
|
| Автор: | Yurik [ 10 дек 2013, 21:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
alena_t писал(а): Можно ли тогда объединить 2 слагаемых Да, можно. alena_t писал(а): Воспользоваться формулами понижения степени Я бы так и сделал. |
|
| Автор: | alena_t [ 10 дек 2013, 21:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Yurik, простите, что надоедаю. Но, если правая часть имеет вид:f(x)=(x^2)*cos(7x) + (e^x)*(sin x)^2 - надо найти 2 частных решения и во втором случае воспользоваться формулами понижения степени. Я уточняю а в примере выше - будет 3 частных решения, причем одно объединено. |
|
| Автор: | Yurik [ 10 дек 2013, 21:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Да. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 10 дек 2013, 21:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересное уравнение |
Немного помешаю , есть еще метод вариации произвольных постоянных. Там не нужно запоминать правила образования частных решений. Он иногда оказывается проще( например, при решении им не надо понижать степень тригонометрических функций, хотя потом,при взятии интегралов может и придется) |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|