Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решаю производные
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=28193
Страница 1 из 2

Автор:  imbaaaa [ 25 ноя 2013, 23:55 ]
Заголовок сообщения:  Решаю производные

Здравствуйте.
Решаю сложную производную, и конкретно запутался.

[math]f(x) = \frac{ x \cos^{2} {x} }{ \sin{3x} }[/math]

По правилу дифферецирования делаю так:

[math]f(x)' = (\frac{ x \cos^{2} {x} }{ \sin{3x} })' = \frac{ (x \cos^{2} {x} )' * \sin{3x} - x \cos^{2}{x} * (\sin{3x}) } { (\sin{3x})^{2}}[/math]

[math]= \frac{ [(x)' (\cos^{2}{x})'] * \sin {3x} - x \cos^{2}{x} * (\sin{3x})' } {(\sin{3x}^{2})}[/math]

[math]= \frac {[1 * 2*cos{x} * (\cos{x})'] * \sin {3x} - x \cos ^{2}{x} * 3\cos{3x}} {(\sin{3x})^{2}}[/math]

[math]= \frac {1* (-\sin{2x}) * \sin{3x} - x \cos^{2}{x} * 3\cos{3x}} {(\sin{3x})^{2}}[/math]

А что дальше?) Что делать с sin 3x и x cos 2x? По тригонометрическим формулам разложить?
Так?
[math]\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^{3}{x}[/math]
[math]x \cos{2x} = x * 1 - 2\sin^{2}{x}[/math]

Автор:  Andy [ 26 ноя 2013, 00:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

imbaaaa
Заметьте, что [math]\bigg(x\cos^2 x\bigg)'=x'\cos^2 x+x\bigg(\cos^2 x\bigg)'...[/math] :)

Автор:  Yurik [ 26 ноя 2013, 08:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

Рекомендую подобные функции решать логарифмическим методом (это, как правило, проще).
[math]\begin{gathered} f(x) = \frac{{x{{\cos }^2}x}}{{\sin 3x}} \hfill \\ \ln f\left( x \right) = \ln x + 2\ln \cos x - \ln \sin 3x \hfill \\ \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{3\cos 3x}}{{\sin 3x}} \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  imbaaaa [ 26 ноя 2013, 11:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

Yurik
Спасибо, попробую позже)

Andy
Это так получается?
[math](x \cos^{2}{x})' = x' \cos^{2}{x} + x (\cos^{2}{x})' = 1 * \cos^{2}{x} + 2x (\cos{x})' = 1 * \cos^{2}{x} + 2x - \sin{x}[/math]

Автор:  Andy [ 26 ноя 2013, 11:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

imbaaaa
[math](x\cos^2 x)'=\cos^2 x + x\cdot 2\cos x\cdot(-\sin x)=\cos^2 x-2x\cos x\sin x=\cos^2 x-x\sin 2x.[/math]

Автор:  imbaaaa [ 26 ноя 2013, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

Не могли бы Вы проверить, решил производную, хотелось бы проверить её. :)
Задание - вычислить производную функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_{0}[/math] и написать уравнение касательной.
[math]f(x) = - x^{2} + 4x - 5, x_{0} = 3[/math]

Решение:
1. Точка x0 нам дана.
2. Найдем значение функции.
[math]f(x_{0}) = f(-x^{2} + 4x - 5) = -3^{2} + 4 * 3 - 5 = 9 + 12 - 5 = 16[/math]

3. Найдем производную.
[math]f(x)' = (- x^{2} + 4x - 5)' = -2x + 4[/math]

4. Подставим в полученную производную [math]x_{0}[/math]
[math]f(x)' = -2 * 3 + 4 = -2[/math]

5. В итоге получаем:
[math]y = -2 * (x - 3) + 16 = -2x + 6 + 16 = -2x + 22[/math]
Ответ: [math]y = -2x + 22[/math] - Уравнение касательной.

Автор:  Andy [ 26 ноя 2013, 18:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

imbaaaa
Заметьте, что [math]f(x_0)=-9+12-5=-2.[/math] :)

Автор:  imbaaaa [ 26 ноя 2013, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

Andy писал(а):
imbaaaa
Заметьте, что [math]f(x_0)=-9+12-5=-2.[/math] :)

А отрицательное число в четной степени всегда ведь положительное, не?

Автор:  Wersel [ 26 ноя 2013, 21:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

imbaaaa писал(а):
А отрицательное число в четной степени всегда ведь положительное

А где Вы увидели противоречие?

Автор:  imbaaaa [ 26 ноя 2013, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решаю производные

Wersel писал(а):
imbaaaa писал(а):
А отрицательное число в четной степени всегда ведь положительное

А где Вы увидели противоречие?

[math]-3^{2} + 4 * 3 - 5 = 9 + 12 - 5 = 16[/math]

-3^2 = 9

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/