| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Производные обратной функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=28183 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | mustimur [ 25 ноя 2013, 19:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Производные обратной функции |
Доброго времени суток, есть функции заданные параметрически: x=x([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), y=y([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), z=z( [math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math]) как найти [math]\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} , \frac{\partial \zeta}{\partial x}[/math] , понятно: [math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math] аналогично: [math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math] Отсюда: [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]=[math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}^{-1}[/math] Но где взять [math]\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial z^2}[/math]? |
|
| Автор: | Human [ 27 ноя 2013, 14:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Производные обратной функции |
Другими словами, Вам нужно выразить частные производные обратных функций через производные исходных? Я не знаю, как это можно сделать в удобном матричном виде, но можно использовать свертки по индексам для краткости записи. Будем обозначать функции [math]x,y,z[/math] как [math]x_i,\ i=1,2,3[/math], а обратные функции [math]\xi,\eta,\zeta[/math] как [math]\xi_i,\ i=1,2,3[/math]. Тогда имеем [math]x_i=x_i(\xi_1(x_1,x_2,x_3),\xi_2(x_1,x_2,x_3),\xi_3(x_1,x_2,x_3))[/math] Дифференцируя обе части по [math]x_j[/math] как сложную функцию , получим [math]\delta_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math] Здесь [math]\delta_{ij}[/math] (символ Кронекера) - число, равное 1 при равных индексах и равное 0 при неравных, а в правой части происходит суммирование по парному индексу [math]k[/math]: [math]a_kb_k \equiv \sum_{k=1}^3a_kb_k[/math] Аналогично можно получить [math]\delta_{ij}=\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial\xi_j}[/math] Такое равенство можно интерпретировать как матричное, если частную производную [math]\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}[/math] рассматривать как элемент с индексами [math]ik[/math] в соответствующей матрице частных производных. Свертка по индексам здесь соответствует стандартному матричному умножению. Теперь первое равенство снова дифференцируем по [math]x_m[/math]: [math]0=\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial^2\xi_k}{\partial x_m\partial x_j}[/math] Здесь уже сворачиваются парные индексы [math]k[/math] и [math]n[/math], а индексы [math]i,j,m[/math] - свободные. Свернём теперь обе части равенства с выражением [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}[/math] по индексу [math]i[/math]: [math]0=\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}[/math] Здесь я воспользовался равенством [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}=\delta_{pk}[/math] и тем, что свертка с символом Кронекера эквивалентна замене индекса. Окончательно [math]\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}=-\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math] В этом равенстве сворачиваются три индекса [math]i,n,k[/math] (то есть в правой части стоит [math]3^3=27[/math] слагаемых) и свободны три индекса [math]p,m,j[/math] (то есть всего 27 равенств). Частные производные первого порядка Вы уже нашли ранее, так что с помощью этого равенства можно найти частные производные второго порядка. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|