Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| mustimur |
|
|
|
есть функции заданные параметрически: x=x([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), y=y([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), z=z( [math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math]) как найти [math]\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} , \frac{\partial \zeta}{\partial x}[/math] , понятно: [math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math] аналогично: [math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math] Отсюда: [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]=[math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}^{-1}[/math] Но где взять [math]\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial z^2}[/math]? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Другими словами, Вам нужно выразить частные производные обратных функций через производные исходных?
Я не знаю, как это можно сделать в удобном матричном виде, но можно использовать свертки по индексам для краткости записи. Будем обозначать функции [math]x,y,z[/math] как [math]x_i,\ i=1,2,3[/math], а обратные функции [math]\xi,\eta,\zeta[/math] как [math]\xi_i,\ i=1,2,3[/math]. Тогда имеем [math]x_i=x_i(\xi_1(x_1,x_2,x_3),\xi_2(x_1,x_2,x_3),\xi_3(x_1,x_2,x_3))[/math] Дифференцируя обе части по [math]x_j[/math] как сложную функцию , получим [math]\delta_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math] Здесь [math]\delta_{ij}[/math] (символ Кронекера) - число, равное 1 при равных индексах и равное 0 при неравных, а в правой части происходит суммирование по парному индексу [math]k[/math]: [math]a_kb_k \equiv \sum_{k=1}^3a_kb_k[/math] Аналогично можно получить [math]\delta_{ij}=\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial\xi_j}[/math] Такое равенство можно интерпретировать как матричное, если частную производную [math]\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}[/math] рассматривать как элемент с индексами [math]ik[/math] в соответствующей матрице частных производных. Свертка по индексам здесь соответствует стандартному матричному умножению. Теперь первое равенство снова дифференцируем по [math]x_m[/math]: [math]0=\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial^2\xi_k}{\partial x_m\partial x_j}[/math] Здесь уже сворачиваются парные индексы [math]k[/math] и [math]n[/math], а индексы [math]i,j,m[/math] - свободные. Свернём теперь обе части равенства с выражением [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}[/math] по индексу [math]i[/math]: [math]0=\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}[/math] Здесь я воспользовался равенством [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}=\delta_{pk}[/math] и тем, что свертка с символом Кронекера эквивалентна замене индекса. Окончательно [math]\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}=-\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math] В этом равенстве сворачиваются три индекса [math]i,n,k[/math] (то есть в правой части стоит [math]3^3=27[/math] слагаемых) и свободны три индекса [math]p,m,j[/math] (то есть всего 27 равенств). Частные производные первого порядка Вы уже нашли ранее, так что с помощью этого равенства можно найти частные производные второго порядка. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mustimur |
||
|
[ Сообщений: 2 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Теорема об обратной функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
201 |
04 май 2020, 19:58 |
|
|
Непрерывность обратной функции
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
465 |
22 янв 2017, 22:10 |
|
|
Производная обратной функции
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
212 |
26 июл 2022, 21:07 |
|
| Метод обратной функции | 5 |
363 |
31 мар 2021, 14:48 |
|
|
Нахождение производная обратной функции. Доказательство
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
295 |
03 июн 2020, 22:55 |
|
|
Вычисление обратной дополнительной функции ошибок
в форуме Теория вероятностей |
0 |
298 |
04 фев 2018, 21:58 |
|
|
Геометрический смысл производной обратной функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
967 |
06 ноя 2015, 11:30 |
|
|
Область определения функции, обратной для данной
в форуме Алгебра |
3 |
178 |
25 окт 2022, 09:55 |
|
|
Производные функции
в форуме Алгебра |
4 |
412 |
10 июн 2015, 22:29 |
|
|
Производные функции
в форуме Алгебра |
8 |
362 |
12 дек 2022, 20:01 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |