Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Производные обратной функции
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2013, 19:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2013, 19:00
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток,

есть функции заданные параметрически: x=x([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), y=y([math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math] ), z=z( [math]\xi[/math], [math]\eta[/math] , [math]\zeta[/math])
как найти [math]\frac{\partial \xi}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial x} , \frac{\partial \zeta}{\partial x}[/math] , понятно:

[math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math]

аналогично:
[math]\begin{bmatrix} d\xi \\ d\eta \\ d\zeta \end{bmatrix}[/math] = [math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]*[math]\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}[/math]

Отсюда:
[math]\begin{bmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \xi}{\partial z}\\ \frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial z} \\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} & \frac{\partial \zeta}{\partial y} & \frac{\partial \zeta}{\partial z}\end{bmatrix}[/math]=[math]\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \zeta}\\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \zeta} \\ \frac{\partial z}{\partial \xi} & \frac{\partial z}{\partial \eta} & \frac{\partial z}{\partial \zeta}\end{bmatrix}^{-1}[/math]

Но где взять [math]\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \eta}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 \zeta}{\partial z^2}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производные обратной функции
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2013, 14:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Другими словами, Вам нужно выразить частные производные обратных функций через производные исходных?

Я не знаю, как это можно сделать в удобном матричном виде, но можно использовать свертки по индексам для краткости записи.

Будем обозначать функции [math]x,y,z[/math] как [math]x_i,\ i=1,2,3[/math], а обратные функции [math]\xi,\eta,\zeta[/math] как [math]\xi_i,\ i=1,2,3[/math]. Тогда имеем

[math]x_i=x_i(\xi_1(x_1,x_2,x_3),\xi_2(x_1,x_2,x_3),\xi_3(x_1,x_2,x_3))[/math]

Дифференцируя обе части по [math]x_j[/math] как сложную функцию , получим

[math]\delta_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math]

Здесь [math]\delta_{ij}[/math] (символ Кронекера) - число, равное 1 при равных индексах и равное 0 при неравных, а в правой части происходит суммирование по парному индексу [math]k[/math]:

[math]a_kb_k \equiv \sum_{k=1}^3a_kb_k[/math]

Аналогично можно получить

[math]\delta_{ij}=\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial\xi_j}[/math]

Такое равенство можно интерпретировать как матричное, если частную производную [math]\frac{\partial\xi_i}{\partial x_k}[/math] рассматривать как элемент с индексами [math]ik[/math] в соответствующей матрице частных производных. Свертка по индексам здесь соответствует стандартному матричному умножению.

Теперь первое равенство снова дифференцируем по [math]x_m[/math]:

[math]0=\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}\frac{\partial^2\xi_k}{\partial x_m\partial x_j}[/math]

Здесь уже сворачиваются парные индексы [math]k[/math] и [math]n[/math], а индексы [math]i,j,m[/math] - свободные. Свернём теперь обе части равенства с выражением [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}[/math] по индексу [math]i[/math]:

[math]0=\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}+\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}[/math]

Здесь я воспользовался равенством [math]\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\xi_k}=\delta_{pk}[/math] и тем, что свертка с символом Кронекера эквивалентна замене индекса. Окончательно

[math]\frac{\partial^2\xi_p}{\partial x_m\partial x_j}=-\frac{\partial\xi_p}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial\xi_n\partial\xi_k}\frac{\partial\xi_n}{\partial x_m}\frac{\partial\xi_k}{\partial x_j}[/math]

В этом равенстве сворачиваются три индекса [math]i,n,k[/math] (то есть в правой части стоит [math]3^3=27[/math] слагаемых) и свободны три индекса [math]p,m,j[/math] (то есть всего 27 равенств). Частные производные первого порядка Вы уже нашли ранее, так что с помощью этого равенства можно найти частные производные второго порядка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mustimur
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теорема об обратной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

rancid_rot

3

201

04 май 2020, 19:58

Непрерывность обратной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NEvOl

4

465

22 янв 2017, 22:10

Производная обратной функции

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

5

212

26 июл 2022, 21:07

Метод обратной функции

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Imsold

5

363

31 мар 2021, 14:48

Нахождение производная обратной функции. Доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

Igor kupryniuk

4

295

03 июн 2020, 22:55

Вычисление обратной дополнительной функции ошибок

в форуме Теория вероятностей

Vyacheslav Rebrov

0

298

04 фев 2018, 21:58

Геометрический смысл производной обратной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

2

967

06 ноя 2015, 11:30

Область определения функции, обратной для данной

в форуме Алгебра

powerafin

3

178

25 окт 2022, 09:55

Производные функции

в форуме Алгебра

sladda

4

412

10 июн 2015, 22:29

Производные функции

в форуме Алгебра

koala345

8

362

12 дек 2022, 20:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved